Moin,

jede Zahl kann man eindeutig in Primfaktoren zerlegen: $$n=\prod_{p|n} p^{k_p}$$Mit den Eigenschaften der $\varphi$-Funktion folgt $$\varphi(n)=\prod_{p|n}p^{k_p-1}(p-1)$$Wenn also $\varphi(n)=6$ können wir die Primfaktorzerlegung von n betrachten. Ist $k_p>1$, so gilt $p| 6$, also $p=2, 3$. Andererseits teilt weder $4$ noch $9$ $6$, also kommen sowohl 2 also auch 3 höchstens 2 mal in der Primfaktorzerlegung von n auf. Jetzt bietet sich eine Fallunterscheidung an: 
1. Fall: 2 kömmt genau 1 mal in der Primfaktorzerlegung von n vor
2. Fall: 3 kommt genau 1 mal in der Primfaktorzerlegung von n vor
3. Fall: weder 2 noch 3 teilt n

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LG