Alle n∈ ℕ von φ(n) = 6 bestimmen

Aufrufe: 114     Aktiv: 03.02.2024 um 13:55

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Hey liebe Mathe-Community,
Ich schreibe bald eine Klausur und finde leider zu folgendem Problem keine Lösung:

Wie ich die Phi-Funktion rechne weiß ich, bzw. wenn ich z.B. φ(14) habe weiß ich, dass das 6 ergibt.
Das Problem ist, dass ich ohne Trial and Error diese Aufgabe nicht lösen kann, und ich bezweifel, dass das in der Aufgabe gefragt ist.
Im Skript finde ich leider keinen Lösungansatz dazu.

Würde mich über jegliche Hilfe freuen :)
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Moin,

jede Zahl kann man eindeutig in Primfaktoren zerlegen: $$n=\prod_{p|n} p^{k_p}$$Mit den Eigenschaften der $\varphi$-Funktion folgt $$\varphi(n)=\prod_{p|n}p^{k_p-1}(p-1)$$Wenn also $\varphi(n)=6$ können wir die Primfaktorzerlegung von n betrachten. Ist $k_p>1$, so gilt $p| 6$, also $p=2, 3$. Andererseits teilt weder $4$ noch $9$ $6$, also kommen sowohl 2 also auch 3 höchstens 2 mal in der Primfaktorzerlegung von n auf. Jetzt bietet sich eine Fallunterscheidung an: 
1. Fall: 2 kömmt genau 1 mal in der Primfaktorzerlegung von n vor
2. Fall: 3 kommt genau 1 mal in der Primfaktorzerlegung von n vor
3. Fall: weder 2 noch 3 teilt n

Kannst du von hier übernehmen?

LG
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