Häufungspunkte der Folge an=e^(2pi*i*n*x)

Erste Frage Aufrufe: 91     Aktiv: 15.01.2024 um 16:32

0
Wenn \( x \) irrational ist, dann ist jeder Punkt \( z \) mit Betrag 1 in \( \mathbb{C} \) ein Häufungspunkt der Folge \( a_n = e^{2\pi i n x} \) für \( n \in \mathbb{N} \). Wie beweise ich das? \( z \) kann ja dann geschrieben werden als \( e^{iy} \) für ein geeignetes \( y \) aus \([0,1]\). Und falls \( x \) rational wäre, dann würde sich je nach dem, was \( x \) ist, nach einem bestimmten \( n \) die Folge wiederholen. Dies ist nicht der Fall, wenn \( x \) irrational ist, da man davon ausgehen kann, dass für jedes \( n \), \( n \cdot x \mod 1 \) unterschiedlich ist. Aber was mache ich jetzt? Ich habe überlegt, dass man theoretisch, wenn \( x \) irrational ist, immer ein \( n \) findet, um sich jeder Zahl aus \((0,1)\) so nah wie man will, annähern kann. Aber ich weiß nicht weiter.
gefragt

Punkte: 10

 

1
Siehe mathelounge   ─   mikn 14.01.2024 um 17:59

Wurde die Frage da beantwortet?   ─   crystalmath 15.01.2024 um 16:28

siehe https://www.mathelounge.de/1056113/zeigen-sie-dass-jedes-mit-ein-haufungspunkt-der-folge-an-ist
Antwort wurde akzeptiert.
  ─   mikn 15.01.2024 um 16:32
Kommentar schreiben
0 Antworten