Matrizen, Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 32     Aktiv: 18.02.2021 um 13:52

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Guten Tag,

wie bestimme ich (evtl. auch mittels Beweise), ob die folgende Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?


Die oberflächlichen Definitionen sind mir soweit klar, jedoch fällt es mir schwer das Wissen auf Aufgaben zu übertragen.

danke schonmal !

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1 Antwort
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Das hängt sehr davon ab, wie viel du über Matrizen und Homomorphismen weißt. Ich würde sagen: Die Matrix hat vollen Rang, also ist die Abbildung bijektiv. Du kannst aber auch per Hand nachrechnen, dass die Funktion z.B. injektiv (es genügt zu überprüfen, dass \(\ker\varphi_D=\{0\}\), vorausgesetzt, du hast das gelernt) und/oder surjektiv (man kenn recht leicht ein Urbild angeben) ist. Beachte, dass eine Abbildung zwischen endlich-erzeugten Vektorräumen gleicher Dimension genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist, also brauchst du nur eine der Eigenschaften zu zeigen. Du kannst auch das Inverse der Matrix finden (einfach, da die Matrix Diagonalgestalt hat) und so eine Umkehrabbildung angeben. Wie du siehst, gibt es viele verschiedene Wege, zum Ziel zu kommen. Welcher für dich der beste ist, hängt von deinem Vorwissen ab.
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Und wenn ich eine solche Umkehrabbildung bestimme kann, ließe sich daraus schlussfolgern, dass Bijektivät gegeben ist, richtig?

Ich danke vielmals für die hilfreiche Antwort!
  ─   kunstformen 18.02.2021 um 13:14

Ja, Umkehrabbildungen gibt es nur für bijektive Funktionen.   ─   stal 18.02.2021 um 13:51

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