Stetige Funktion zeigen

Aufrufe: 100     Aktiv: 07.10.2021 um 08:55

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Hallo,

Ich habe folgendes Problem:
(X,τ) ein Topologischer Raum
gegeben sei Sei das Kartesische Produkt X x X und wir definieren die diagonale funktion , welche X --> X x X  schickt
            x -->  (x,x)

Ich soll zeigen, dass diese Funktion stetig ist.
Ich weiss, dass für jede offene Menge in X x X das Urbild dieser Menge auch offen ist , was die Stetigkeit zeigen würde. Jedoch weiss ich nicht was hier offen oder geschlossen ist ? Stehe gerade recht auf dem Schlauch bei der Stetigkeit . Hat mir vielleicht jemand einen Tipp wie ich anfangen soll und kann mir zeigen wo ich hier sehe was offen ist bzw geschlossen ?
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Hallo,

Topologie ist bei mir leider schon etwas her. Aber der Grundgedanke der Topologie ist, dass wir eine Sammlung von Mengen haben, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Diese definieren wir dann als offene Mengen.
Welche Mengen in X x X offen sind, hängt also von der gewählten Topologie ab. Bei Produkträumen, wird wenn nichts weiter gesagt wird die Produkttopologie gewählt.
Wann ist eine Menge offen bzgl. der Produkttopologie? (in der Definition liegt auch schon das ganze Geheimnis dieser Aufgabe)

Grüße Christian
  ─   christian_strack 05.10.2021 um 18:45
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Stetigkeit ist eine Eigenschaft die immer bezüglich der zugrundeliegenden Topologien betrachtet werden muss. Wenn man ganz präzise ist, muss man genau genommen immer die gewählten Topologien nennen, d.h. eine Abbildung ist $f\colon (X,\mathcal T_X) \to (Y,\mathcal T_Y)$ ist dann $\mathcal T_X, \mathcal T_Y$-stetig.

Man lässt diesen Zusatz allerdings häufig weg, wenn aus dem Kontext klar ist, welche Topologien zugrundeliegen. Und es gibt häufig kanonische Topologien. 

Seien $(X,\mathcal T_X),(Y,\mathcal T_Y)$ topologische Räume. Dann wird $X\times Y$ bzgl. der Produkt-Topologie $\mathcal T_{X\times Y}$ auf $X\times Y$ zum topologischen Raum $(X\times Y,\mathcal T_{X\times Y})$.

Eine Teilmenge $W\subseteq X\times Y$ ist dann offen, wenn für jeden Punkt $(x,y)\in W$ offene Mengen $U\in \mathcal T_X,\ V\in \mathcal T_Y$ existieren so dass $x\in U,\ y\in V$.

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Student, Punkte: 490

 

okey vielen Dank ! Der Teil mit den Topologischen Räumen ist nun klarer.
Was ich aber noch nicht verstehe, ist das mit dem offen sein. Aso die Definition welche du geschrieben hast, macht ja Sinn , aber wie sehe ich das Die Mengen auch offen sind? Also ich weiss ja nicht ob X offen ist oder? Wie weiss ich denn ob W , bzw U und V offen sind ? oder kann man das definieren?
Ich habe auch gelesen, dass die Stetigkeit auch mit der geschlossenheit gezeigt werden kann, kann ich also einfach X als offen oder geschlossen definieren und weiss dann, dass X x X auch geschlossen bzw offen ist , da es ein Kartesisches Produkt ist von zwei offenen bzw geschlossenen Mengen oder mache ich jetzt ein riesen Durcheinander ?
Danke für deine Antwort und Bemühungen und sorry, dieses Thema fällt mir extrem schwer zu verstehnen, darum kommen so blöse Fragen.
  ─   bünzli 06.10.2021 um 09:41

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Zunächst ist jeder topologische Raum $X$ offen und abgeschlossen ($X\in \mathcal T_X$). Das heißt, du kannst immer voraussetzen dass $X$ und entsprechend auch $X\times X$ als topologische Räume beide offen sind. Man kann Stetigkeit auch bzgl. abgeschlossener Mengen zeigen. Die Axiome einer Topologie sind äquivalent für abgeschlossene Mengen. Das brauchst du hier aber eigentlich nicht wirklich.

Zu deiner Frage: du musst zeigen, dass zu _jeder_ offenen Teilmenge $W\subseteq X\times X$ (Zielbereich) das Urbild $f^{-1}(W)$ offen ist in $\mathcal T_X$, d.h. dass $f^{-1}(W)\subseteq X$ eine offene Teilmenge ist.

Dazu nimmst du dir ein beliebiges $W\subseteq X\times X$ das du als offen voraussetzt, dann darfst du benutzen, dass für jeden Punkt $(x,y)\in W$ gilt, dass $x$ und $y$ jeweils beide in offenen Teilmengen $U_1, U_2\subseteq X$ liegen. So hast du quasi direkt zugriff auf die offenen Teilmengen im Urbildbereich.

Und jetzt musst du zeigen, dass bei völlig beliebiger Wahl einer offenen Menge $W\subseteq X\times X$ das Urbild $f^{-1}(W)$ immer offen ist in $X$.

Das sind übrigens alles sehr gute und angemessene Fragen.
  ─   zest 06.10.2021 um 17:37

Noch ein Tipp: Urbilder sind invariant unter Vereinigung und Schnitt, d.h. $\bigcup_i f^{-1}(A_i) = f^{-1}\left(\bigcup_i A_i\right)$ und $\bigcap_i f^{-1}(A_i) = f^{-1}\left(\bigcap_i A_i\right)$ sowie $f^{–1}(\varnothing) = \varnothing$.   ─   zest 06.10.2021 um 17:44

Vielen vielen Dank ! Ich werde mir das nochmals angucken und versuchen zu verstehen :)   ─   bünzli 07.10.2021 um 08:55

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