Hey,

da deine Anfrage ziemlich umfangreich ist, erwarte nicht, dass dir hier jemand die vollständige Kurvendiskussion führt. Ich gebe dir gern ein paar Anstöße und Ansätze, mit denen du es dann selber erstmal probieren kannst.

1. Achsenschnittpunkte & Nullstellen
Ich würde die 2 Punkte mal zusammenfassen, da Nullstellen eben auch Achsenschnittpunkte sind. Für die Schnittpunkte mit der y-Achse berechnest du \( f(0) \), also du setzt für alle \( x \) den Wert 0 ein und berechnest damit den Funktionswert.
Bei der Nullstelle musst du beachten, dass du eine gebrochenrationale Funktion hast. Ein Bruch wird 0, wenn der Zähler, aber nicht gleichzeitig der Nenner 0 wird. Also berechnest du die Nullstelle des Zählers, d.h. du rechnest \( 0 = 2x^2 - 1 \). Damit bekommst du die potenziellen Nullstellen deiner Funktion. Wenn der Nenner für diese \( x \)- Werte ungleich 0 ist, sind das deine tatsächlichen Nullstellen.

2. Asymptoten
Hier kannst du auf senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten überprüfen. Senkrechte Asymptoten liegen z.B. bei Definitionslücken vor. Dafür musst du schauen, wo deine Funktion nicht definiert ist, also hier wo der Nenner = 0 ist.
Für waagerechte Asymptoten schaust du dir das Grenzverhalten für \( x \rightarrow \infty \) und ( x \rightarrow - \infty \) an.
Für schräge Asymptoten führt man meist eine Polynomdivision durch.

3. Extremstellen
Bilde die Ableitungen. Beachte hierbei die Quotientenregel. Anschließend kannst du wie gewöhnlich die notwendige Bedingung ( \( f'(x) = 0 \) ) nachrechnen. Über die 2. Ableitung findest du die Art des Extremums heraus.

4. Wendepunkt
Mit der zuvor berechneten 2. Ableitung kannst du nun auch die Wendepunkte bestimmen. Dafür setzt du die 2. Ableitung Null. Mit der 3. Ableitung prüfst du, ob es ein Wendepunkt ist.

5. Krümmung
Die 2. Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung einer Funktion. Wenn die 2. Ableitung größer als 0 ist, dann ist die Kurve linksgekrümmt, bzw. konvex, andernfalls ist die rechtsgekrümmt und konkav.

Ich hoffe diese Ansätze bringen dich erstmal weiter. Sollten dir Begriffe davon unbekannt sein, kannst du sie auch gezielt nochmal suchen. Ein paar Videos habe ich dir auch angehängt, die beim Vorgehen helfen sollten.

VG
Stefan