Hallo ihr Lieben, ich soll den Grenzwert von: $\lim_{x\searrow 0}(\frac {1}{x})^{sin(x)}$ unter Anwendung von de l´Hospital berechnen, dazu habe ich das ganze erstmal umgeschrieben zu:

$$\lim_{x\searrow 0}(\frac {1}{x})^{sin(x)}=\lim_{x\searrow 0}(\frac {sin(x)}{x \cdot sin(x)})$$
Sei jetzt $f(x)=sin(x)$ und $g(x)=x \cdot sin(x)$, es gilt:

$\lim_{x\searrow 0}f(x)=0$ und $\lim_{x\searrow 0}g(x)=0$, daraus folgt, dass l´Hospital anwendbar ist, also gilt:
$$\lim_{x\searrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\searrow 0}\frac{f´(x)}{g´(x)}=\lim_{x\searrow 0}\frac{cos(x)}{sin(x)+x \cdot cos(x)}=\lim_{x\searrow 0}\frac{1}{sin(x)+x \cdot cos(x)}="\frac{1}{0}"$$

Das hintere Ergebnis natürlich bewusst nur in Anführungszeichen. Ich habe jetzt hier das Problem, dass ich l´Hospital kein weiteres Mal anwenden kann, aber ich weiß auch nicht wirklich, wie ich den Term $ \frac{1}{sin(x)+x \cdot cos(x)}$ clever umbeschreiben könnte, um da einen Grenzwert zu berechnen, hat da jemand eine Idee?