Skalarprodukt für komplexe periodische Funktionen

Aufrufe: 345     Aktiv: 18.02.2023 um 13:06

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Wir betrachten gerade Fourier-Reihen und mussten dafür ein Skalarprodukt einführen. Betrachtet wird der Raum aller \(2\pi\)-periodischen Funktionen \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\), die über der Intervall \([0,2\pi]\) Riemann-integrierbar sind. Als Skalarprodukt haben wir

\[\langle f,g\rangle:=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{f(x)}g(x)\ dx\]
definiert. 

Aus meiner Linearen Algebra Vorlesung weiß ich noch, dass ein Skalarprodukt 3 Eigenschaften haben muss:

  • sesquilinear
  • hermitisch
  • positiv definit

Die ersten beiden Eigenschaften habe ich hinbekommen nachzuweisen, doch irgendwie habe ich ein Verständnisproblem bei der Definitheit, also dass \(\langle f,f \rangle=0\Leftrightarrow f=0\)

Die eine Richtung trivial, aber wenn ich 
\[f(x)=\begin{cases} 1, &x=\pi\\ 0, &\text{sonst}\end{cases}\]
setze, dann ist die Funktion ja offensichtlich nicht die Nullfunktion, aber dennoch ist sie auf \([0,2\pi]\) Riemann-integrierbar, da sie nur eine endliche Anzahl an unstetigkeitsstellen hat und das Skalarprodukt dieser Funktion ist 0, was bedeuten würde, dass die Funktion ein Gegenbeispiel wäre. Damit würde das Skalarprodukt nur dann funktionieren, wenn wir voraussetzen, dass \(f\) stetig ist, das wurde aber nicht gemacht.

Würde mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, wo bei meinem Beispiel der Denkfehler ist.

 

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Dieses "Skalarprodukt" ist keines auf dem Raum der R-integrierbaren Funktionen, wie Du selbst richtig festgestellt hast. Du musst übrigens Dein Gegenbeispiel noch periodisch machen, aber das kriegt man schon hin. Üblicherweise legt man den Raum der stetigen Funktionen zugrunde, dann ist es eines.

 

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Okay, dann wurde das wahrscheinlich einfach nicht dazugeschrieben, dass die Funktion stetig sein muss, sondern wurde als "trivial" betrachtet. Danke für die schnelle Rückmeldung   ─   cedric.r 18.02.2023 um 12:55

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