Ich habe Schwierigkeiten bei der Kürzung der Brüche, Ermittlung von Polstellen

Aufrufe: 555     Aktiv: 12.01.2021 um 13:37
1

Kann ich da jetzt schon etwas wegkürzen oder muss ich beim auf die rechte Seite bringen zum Beispiel  das x^2 in jeweils x und x aufteilen? (Damit sich der Nenner immer wegkürzt)

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 27

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Du brauchst also Hilfe bei der Partialbruchzerlegung. Dein letzter Schritt ist falsch. Beim Erweitern musst du den ganzen Bruch Erweitern (also auch den Nenner und nicht nur den Zähler). Du hast also die gesamte Summe \(A(...)+B(...)+C(...)+D(...)\) im Zähker \(x^2(x^2-1)\) im Nenner stehen.
Der Gedanke ist der, dass du nach dem ausmultiplizieren und anschließenden zusammenfassen im Zähler einen Koeffizientenvergleich mit dem Ausgangsterm im Zähler (1) machst und so deine \(A,B,C\) und \(D\) ausrechnest.

Wenn du nicht weist was ich mit Koeffizientenvergleich meine, dann korrigiere erstmal deine Rechnung, multipliziere deinen Zähler aus und fasse entsprechend der Potenzen von \(x\) zusammen. Dann schauen wir weiter.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 8.84K

 
Ich verstehe irgendwie nicht was ich jetzt tun soll, wenn ich x^2 (x^2 -1) auf die rechte Seite bringe, erfolgt das durch Multiplikation und das würde ja nur im Zähler stehen.
Stehe gerade auf dem Schlauch.. - habe meine Berechnung oben neu eingefügt
   ─   anna95 11.01.2021 um 13:03
@anna95 kein Problem deswegen helfe ich dir ja .... also du rechnest nicht mal deinen Nenner \(x^2(x^2-1)\)! Du lässt die linke Seite der Gleichung stehen und erweiterst die Terme auf der rechten Seite so, dass du überall auf den Hauptnenner kommst. Also wie folgt:
\(\dfrac{1}{x^2(x^2-1)} =\dfrac{A}{x} +\dfrac{B}{x^2} +\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{x+1} =\dfrac{A\cdot x(x^2-1)}{x^2(x^2-1)} +\dfrac{B\cdot (x^2-1)}{x^2(x^2-1)} +\dfrac{C \cdot x^2(x+1)}{x^2(x^2-1)}+\dfrac{D\cdot x^2(x-1)}{x^2(x^2-1)} =\dfrac{A\cdot x(x^2-1)+B\cdot (x^2-1)+C \cdot x^2(x+1)+D\cdot x^2(x-1)}{x^2(x^2-1)}\)
Nun hast du auf beiden Seiten den gleichen Nenner im Bruch, d.h., du brauchst nur noch den Zähler zu vergleichen.
An dieser Stelle musst du nun die große Summe im Zähler auf der rechten Seite ausmultiplizieren und nach den Potenzen von \(x\) zusammenfassen. Hilft dir das erstmal weiter.   ─   maqu 11.01.2021 um 13:30
ich habe das jetzt mal so durchgeführt, was muss ich jetzt tun (vorausgesetzt, dass was ich gemacht habe ist richtig...) - Bild geändert   ─   anna95 11.01.2021 um 15:02
na das sieht doch gut aus ... du hast also \((A+C+D)x^3 +(B+C+D)x^2 +(-A)x -B\) im Zähler ... damit machst du jetzt einen koeffizientenvergleich mit deinem anderen Zähler \(1\).
Du kannst ja auch schreiben:
\(1=0\cdot x^3 +0\cdot x^2+0\cdot x +1\)
Durch den Koeffizientenvergleich erlässt du also folgendes Gleichungssystem:
(1) 0=A+C+D
(2) 0=B+C-D
(3) 0=-A
(4) 1=-B
Diese löst du und erhälst deine Werte für \(A,B,C\) und \(D\). Dann hast du mit Hilfe der Partialbruchzerlegung also ermittelt, aus welchen Brüchen sich dein Ausgangsbruch \(\dfrac{1}{x^2(x^2-1)}\) zusammengesetzt hat.   ─   maqu 11.01.2021 um 17:09
soweit so gut, die richtigen Werte für A,B,C und D habe ich herausbekommen, jetzt hänge ich aber an dem Endergebnis (Habe meine Berechnungen wieder oben eingefügt)
Ich habe die Werte eingesetzt und dann kürzt sich ein Teil raus, aber auf das ,,Soll'' Ergebnis komme ich mit meinem Ist Ergebnis ja nicht , oder?   ─   anna95 12.01.2021 um 11:46
Also deine Werte sind richtig ... setze diese in die Gleichung vom Anfang ein \(\dfrac{A}{x} +\dfrac{B}{x^2} +\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{x+1}\). Dann erhälst du \(-\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{2(x-1)} -\dfrac{1}{2(x+1)}\). Wenn du die hinteren beiden Terme jetzt noch zusammenfasst, kürzt sich auch die \(2\) noch weg und du kommst auf deine Lösung \(-\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{x^2-1}\).
Deine Werte immer in die Anfangsgleichung einsetzen, dann umgehst du es eventuelle am Ende noch Fehler beim Kürzen zu machen. :)   ─   maqu 12.01.2021 um 12:55
Ahh, super ! Vielen vielen Dank für die Hilfe und vor allem für die Geduld!
Ich hoffe, ich hab es dann jetzt auch verinnerlicht..   ─   anna95 12.01.2021 um 13:03
Immer gern ;) gutes braucht seine Zeit ... wenn du das Prinzip der partialbruchzerlegung nochmal ein ein oder zwei Beispielen übst kommt bestimmt Routine rein :) ... freut mich wenn ich helfen konnte   ─   maqu 12.01.2021 um 13:37

Kommentar schreiben