Konstruktion einer Basis vom Bild und Kern

Aufrufe: 757     Aktiv: 04.12.2020 um 20:11
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Vielen Dank schonmal an die vielen Helfer, die dieses Community ermöglichen. Dies ist die zweite Frage die ich in diesem Forum stelle. 

Es geht um eine IR-lineare Abbildung f: IR³ -> auf IR³ die wie folgt definiert ist:   

f(1,0,0)=(-1,1,3)

f(0,1,0)=(0,6,3)

f(0,0,1)=(2,4,-3)

Es ist nun eine Basis zu Konstruieren von Kern(f) und Bild(f).

also das Bild von f sind ja die vektoren (-1,1,3) (0,6,3) (2,4,-3) oder? Um die Basis zu ermitteln, müsste ich ja zunächst schauen ob die/welche Vekotren voneinander linear unabhängig sind oder nicht, und diese dann evtl mit linearunabhängigen Vektoren zu ersetzen.

Aber wie schaut es mit dem Kern(f) aus, laut definition besteht der Kern(f) ja aus all den Vekotren die den Nullvektor abbilden. Wie gehe ich mit dieser information um, bzw. was lese ich aus der gegene definition dieser Abbildung heraus?

 

Vielen Dank 

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Bild: Finde eine möglichst große Teilmenge der drei Bildvektoren, die linear unabhängig ist. Das ist dann eine Basis des Bildes, und Du kennst dann die Dimension des Bildes, und somit die Dimension des Kerns (nach dem Rangsatz).

Kern: Finde ausreichend viele linear unabhängige Lösungen des LGS \(f(v)=0\) mit Hilfe von Gauß-Eliminierung.

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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung. Also entspricht die Dimension des Bildes, der Dimension des Kerns? Ich nehme mir Quasi die drei Vektoren (-1,1,3) usw... und schaue mir an ob alle diese Vektoren linear unabhängig sind oder nicht. Und diejenigen die es nicht sind, sind nicht teil der Basis korrekt?

Zum Kern: Wie sieht den genau meine LGS aus? Also wie genau aufgestellt, in den ganzen anderen Foren verwirrt mich die schritt wie die Matrix aufgestellt wurde..   ─   dividedbyzero 04.12.2020 um 17:29
Nein, der Satz (sorry, ich glaube er heißt Dimensionssatz, nicht Rangsatz) sagt, dass Kerndimension plus Bilddimension in diesem Fall 3 ergeben muss.
Deine Aussage über lineare Unabhängigkeit ist so nicht sinnvoll, man kann sie nur für Mengen von Vektoren prüfen, nicht für Vektoren an sich. Schau Dir die Definition noch einmal genau an. Dann verstehst Du meinen Hinweis besser.
Die Darstellungsmatrix von \(f\) hat als Spalten die Bilder von \(f\) auf den kanonischen Basisvektoren, so wie Du sie angegeben hast. Schreibe die Spalten einfach hintereinander. Überlege Dir, warum das korrekt ist.   ─   slanack 04.12.2020 um 20:11

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