Bild: Finde eine möglichst große Teilmenge der drei Bildvektoren, die linear unabhängig ist. Das ist dann eine Basis des Bildes, und Du kennst dann die Dimension des Bildes, und somit die Dimension des Kerns (nach dem Rangsatz).
Kern: Finde ausreichend viele linear unabhängige Lösungen des LGS \(f(v)=0\) mit Hilfe von Gauß-Eliminierung.
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Deine Aussage über lineare Unabhängigkeit ist so nicht sinnvoll, man kann sie nur für Mengen von Vektoren prüfen, nicht für Vektoren an sich. Schau Dir die Definition noch einmal genau an. Dann verstehst Du meinen Hinweis besser.
Die Darstellungsmatrix von \(f\) hat als Spalten die Bilder von \(f\) auf den kanonischen Basisvektoren, so wie Du sie angegeben hast. Schreibe die Spalten einfach hintereinander. Überlege Dir, warum das korrekt ist. ─ slanack 04.12.2020 um 20:11
Zum Kern: Wie sieht den genau meine LGS aus? Also wie genau aufgestellt, in den ganzen anderen Foren verwirrt mich die schritt wie die Matrix aufgestellt wurde.. ─ dividedbyzero 04.12.2020 um 17:29