Surjektivität bei Abbildung zwischen Vektorräumen

Aufrufe: 475     Aktiv: 18.12.2020 um 15:48

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Guten Tag an Alle,

Ich soll untersuchen, ob die im Bild stehende Abbildung surjektiv ist, prinzipiell weiß ich was Surjektivität ist und normalerweise würde ich jetzt die Abbildungsvorschrift nach x umstellen und schauen, ob jedes y ein nichtleeres Urbild hat, aber ich habe gerade total Probleme damit, wie man das bei Vektoren machen würde, also wie man hier jetzt die Abbildungsvorschrift umstellen würde oder sonst irgendwie daran gehen würde, um Surjektivität zu zeigen. Für einen Ansatz oder sogar die Rechnung wäre ich sehr dankbar, da wir leider keine Beispielrechnungen von solchen Aufgaben erhalten haben.

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Du willst zeigen, dass zu jedem \(z\in\mathbb{C}\) Elemente \(a,b\in\mathbb{C}\) existieren, so dass \(z=f(a,b)=a^2+b\) gilt. Es ist sehr einfach, solche \(a,b\) zu finden, überlege noch einmal.

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Tut mir leid, aber ich stehe immer noch auf dem Schlauch, also mir ist intuitiv schon klar, dass die Abbildung surjektiv ist, aber ich scheitere daran, es mathematisch korrekt zu zeigen.
Meine Idee wäre jetzt gewesen, als Urbild den Vektor [√a b] (die Zahlen natürlich untereinander dann) zu nehmen und da man sich ja in den komplexen Zahlen befindet, ist √a ja auf jeden Fall definiert, und damit hätte ja jeder Wert ein Urbild das im Definitionsbereich liegt.
Aber irgendwie erscheint mir das nicht richtig zu sein.
  ─   anonymc1cc3 18.12.2020 um 14:45

Das ergibt keinen Sinn. Du gehst von \(z\) aus und kennst \(a\) und \(b\) nicht. Die Aufgabe ist, \(a\) und \(b\) zu definieren, nur unter Verwendung von \(z\), so dass \(z=a^2+b\) gilt.   ─   slanack 18.12.2020 um 15:48

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