\(\log_a\) ist die Umkehrfunktion zu  \(f(x)=a^x\). Schau Dir das Konzept von Funktion-Umkehrfunktion nochmal an. Funktion und Umkehrfunktion heben sich bei Hintereianderausführung auf.
Also: \(x=\log_3(\frac19) \iff \) (auf beiden Seiten die Funktion \(f(x)=3^x\) anwenden) \( 3^x=3^{\log_3(\frac19)}=\frac19=3^{-2}\iff\)   (auf beiden Seiten \(\log_3\) anwenden) \(x=-2\).
Schneller geht es direkt mit dem Spruch "\(\log_3(y)\) ist die Zahl, die als Exponent in \(3^...\) genommen, \(y\) ergibt. Also mit \(y=\frac19\): Gesucht ist \(3^?=\frac19\).
Es ist hier (und nicht nur hier) zwingend notwendig, das Konzept von Funktion und Umkehrfunktion verstanden zu haben. Ohne das ist man hier chancenlos.

Was erhälst Du damit dann für \(\log_{0.5} (1)\)?

wenn man eine Gleichung mit einer Unbekannten hat, möchte man (meistens) nach der Unbekannten auflösen. (z.B. 3x-1=5 stellt man um in x=2.)
Auch wenn man hat \(3^x ={1 \over 9}\) möchte man wissen, was ist x ?
Dazu braucht man den Logarithmus .  Es gilt : \(b^x =a  \Longleftrightarrow x =log_b (a)\)
In deinem Beispiel unten ist die Frage: für welchen Exponenten (x)  wird  \(3^x ={1 \over 9}\). Das Ergebnis ist übrigens \(-2 \text {, denn }  3^{-2} = {1 \over 3^2 } ={1 \over 9}\).
Für die Aufgabe oben ist die Frage: für welchen Exponenten x ist \(0,5^x =1   \Longleftrightarrow x=log_{0,5} = 1\) Lösung \(x=0\)
Das sollte man sich merken : \( \text {Der Logarithmus von 1 ist immer = 0 , weil gilt  }  b^0=1 \)