Exponentialfunktion

Erste Frage Aufrufe: 74     Aktiv: 27.04.2021 um 21:10

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X= log 0,5 (1)   0,5 ist die Basis

Wie kann man den Logarithmus ohne Taschenrechner berechnen, sodass man weiß welche Zahl für x rauskommt?
Als Beispielaufgabe hatte ich X= log 3 (1/9) und als Lösungsweg wurde 1/9 = 3^x und x=2 berechnet. Hier verstehe ich den Zusammenhang wie man auf das x gekommen ist nicht.

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2 Antworten
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\(\log_a\) ist die Umkehrfunktion zu  \(f(x)=a^x\). Schau Dir das Konzept von Funktion-Umkehrfunktion nochmal an. Funktion und Umkehrfunktion heben sich bei Hintereianderausführung auf.
Also: \(x=\log_3(\frac19) \iff \) (auf beiden Seiten die Funktion \(f(x)=3^x\) anwenden) \( 3^x=3^{\log_3(\frac19)}=\frac19=3^{-2}\iff\)   (auf beiden Seiten \(\log_3\) anwenden) \(x=-2\).
Schneller geht es direkt mit dem Spruch "\(\log_3(y)\) ist die Zahl, die als Exponent in \(3^...\) genommen, \(y\) ergibt. Also mit \(y=\frac19\): Gesucht ist \(3^?=\frac19\).
Es ist hier (und nicht nur hier) zwingend notwendig, das Konzept von Funktion und Umkehrfunktion verstanden zu haben. Ohne das ist man hier chancenlos.

Was erhälst Du damit dann für \(\log_{0.5} (1)\)?

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Vielen Dank. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Bei log 0,5 (1) wäre x=1. Wenn ich beispielsweise eine Aufgabe habe wie f(x)= 2^x und y=64, da müsste ich ja auch das gleiche wie beim Logarithmus machen und überlegen 2 hoch welche Zahl ist 64 oder?   ─   user5985dc 25.04.2021 um 10:19

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Genau, die Antwort auf die Frage "2 hoch wieviel ist 64?" ist \(\log_2(64)\). Daher ist die Frage zu \(\log_{0.5} (1)\): "0.5 hoch wieviel ist 1?", die Antwort ist aber nicht 1, sondern?   ─   mikn 25.04.2021 um 12:15

Bitte genau lesen, es geht nicht um "mal", sondern "hoch". Übe das unbedingt nochmal.   ─   mikn 27.04.2021 um 15:09

Ohje.... probier doch ein paar Zahlen aus: 0.5^1=1? 0.5^2=1? Usw. Man braucht hier weder TR noch Umkehrfunktion, aber Potenzen muss man verstanden haben.   ─   mikn 27.04.2021 um 21:10

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wenn man eine Gleichung mit einer Unbekannten hat, möchte man (meistens) nach der Unbekannten auflösen. (z.B. 3x-1=5 stellt man um in x=2.)
Auch wenn man hat \(3^x ={1 \over 9}\) möchte man wissen, was ist x ?
Dazu braucht man den Logarithmus .  Es gilt : \(b^x =a  \Longleftrightarrow x =log_b (a)\)
In deinem Beispiel unten ist die Frage: für welchen Exponenten (x)  wird  \(3^x ={1 \over 9}\). Das Ergebnis ist übrigens \(-2 \text {, denn }  3^{-2} = {1 \over 3^2 } ={1 \over 9}\).
Für die Aufgabe oben ist die Frage: für welchen Exponenten x ist \(0,5^x =1   \Longleftrightarrow x=log_{0,5} = 1\) Lösung \(x=0\)
Das sollte man sich merken : \( \text {Der Logarithmus von 1 ist immer = 0 , weil gilt  }  b^0=1 \)
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Vielen Dank   ─   user5985dc 25.04.2021 um 10:26

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