Implikation (Aussagenlogik)

Aufrufe: 662     Aktiv: 31.03.2020 um 11:20
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Ich habe eigentlich eine sehr leichte Frage, die ich aber selbst nicht beantworten kann.

Es regnet daraus folgt, dass die Straße nass ist. Ist wahr, die ich als gesamte Aussage betrachtet auch noch nachvollziehen kann.

Möchte ich aber diese Implikation in zwei Teilen aufteilen, stellt sich bei mir die Frage: Man kann doch nicht einfach von 1 impliziert 1 ausgehen, weil jetzt gerade regnet es bei mir nicht, also wäre der erste Teil falsch und der zweite auch. Also 0 impliziert 0 (wahr). Es kann aber auch der Fall eintreten, dass die Straße nicht nass ist wegen dem Regen, sondern weil ich einen Wassereimer ausgeschüttet habe.

Vielleicht versteht ihr ja was ich im Prinzip meine...ich stelle mir gerade so viele Fragen über die Implikation und kann mit keinem drüber reden, der mich da auch verstehen kann. Nach meiner Denkweise würde es dann ja keine feste Implikation geben, sondern man müsste immer vom Zeitpunkt des Lesens ausgehen oder denke ich zu kompliziert?

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Ich glaube, du denkst schon richtig. Eine Implikation \(A\Longrightarrow B\) sagt nur etwas über \(B\) aus, wenn \(A\) gilt. Deshalb sagen wir auch: Wenn \(A\), dann \(B\). Ist \(A\) nicht erfüllt, dann gilt die Implikation als wahr, unabhängig vom Wert von \(B\). Um eine Implikation zu zeigen, müssen wir immer annehmen, dass die Bedingung \(A\) erfüllt ist und dann folgern, dass daraus \(B\) folgt. (Oder natürlich zeigen, dass \(A\) nie auftreten kann, aber das kommt normalerweise nicht vor.)

Ich hoffe, das klärt deine Fragen, ansonsten melde dich gern nochmal. Mathematische Logik kann am Anfang schnell sehr abstrakt und unverständlich werden.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Erstmal vielen dank für die Antwort. Hatte heute Online Nachhilfe und die Aufgabe hieß Seien p, q, r Aussagen. Zeige jeweils durch ein Gegenbeispiel, dass die folgenden Aussagen falsch sind (p=>q) => (q=>p).
Wir haben dann folgendes Beispiel genommen: "Ein Tier ist ein Dackel" impliziert "Ein Tier ist ein Hund", aber "Ein Tier ist ein Hund" impliziert nicht "Ein Tier ist ein Dackel" und w impliziert f ist bekanntlich falsch. Also Aufgabe erfüllt.

Mir stellt sich nur die Frage, wenn man sich die Implikation in Einzelteile zerlegt: Ein Tier ist ein Dackel. Ich kann da ja nicht sagen, ob es wahr ist oder falsch. Wäre es andersrum, also ein Dackel ist ein Tier könnte ich sagen es ist wahr. Aber würde ich das jetzt bei allen Aussagen so umdrehen, dann wäre ja alles richtig also (w=>w) => (w=>w) und das wäre dann insgesamt wahr und die Aufgabe nicht gelöst.   ─   desaster069 30.03.2020 um 22:49
Vielleicht hilft es dir, die Aussagen in wenn-dann Form zu bringen. Dann wäre \(p\Longrightarrow q\) "wenn ein Ding ein Hund ist, dann ist es ein Tier" und \(q\Longrightarrow p\) wäre "wenn ein Ding ein Tier ist, dann ist es auch ein Hund". Beide Implikationen müssen für alle Dinge erfüllt sein. Die zweite ist es aber nicht, da das Ding zum Beispiel eine Katze sein könnte (sie erfüllt dann \(q\), Tier sein, aber nicht \(p\), Hund sein, also ist die Implikation \(q\Longrightarrow p\) falsch).
Wichtig ist eben, dass mathematische Aussagen immer gelten müssen. Sobald es eine einzige Ausnahme gibt, gelten sie als falsch.   ─   sterecht 30.03.2020 um 22:57
Super. Das kann ich auch nachvollziehen danke! Nur eine letzte Frage noch: Oben zum Beispiel wenn es regnet dann ist die Straße nass. Geht man dann vom Zeitpunkt des Lesens aus, ob es regnet oder zu welchem Zeitpunkt?   ─   desaster069 30.03.2020 um 23:01
Diese Implikation muss zu jedem Zeitpunkt gelten, damit sie richtig ist. Wenn es zu einem Zeitpunkt gerade nicht regnet, ist die gesamte Implikation per Definition wahr. Weil das immer so ist, dass die Implikation wahr ist, wenn die Bedingung falsch ist, kann man annehmen, dass die Bedingung gerade erfüllt ist, wenn man die Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt überprüfen will. Und wenn es zu einem Zeitpunkt gerade regnet, dann stimmt die Aussage auch.   ─   sterecht 31.03.2020 um 11:20

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