Konvergenz einer Reihe untersuchen

Aufrufe: 314     Aktiv: 24.07.2022 um 20:41
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Hallo zusammen,

ich habe die Reihe 2^k gegeben (also die Summe von 2^k von k=0 bis unendlich). Jetzt will ich diese Reihe auf Konvergenz untersuchen. Inwieweit kann ich denn hier zeigen, dass die Reihe nicht konvergiert. Eigentlich ist es ja offensichtlich, da die Folge der Partialsummen monoton wachsend ist und keinem Grenzwert entgegenstrebt.

Ich dachte, ich schreibe die Reihe in der Summenformel für geometrische Reihen um:

sn =  2^(k+1)-1/2-1 = 2^(k+1) - 1

Hieran erkennt man, dass die Folge der Partialsummen für größere k-Werte immer weiter wächst und keinem konstanten Wert entgegenstrebt. Reicht diese Argumentation so?
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Die Folge unter der Reihe muss eine Nullfolge sein, manchmal man sagt Trivialkriterium. Habt ihr das in der Vorlesung gezeigt? Deine Argumentation klappt aber auch, sehr gut!
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Also ich weiß, dass eine geometrische Folge von der Form q^k nur eine Nullfolge ist, wenn der Betrag von q kleiner als 1 ist. Aber das ist hier ja nicht der Fall, da q=2 ist.   ─   usera70f42 24.07.2022 um 16:35
Es geht nicht um die Reihe als Folge, sondern über die Folge über die summiert wird. Ist diese keine Nullfolge, so kann die Reihe ja gar nicht konvergieren   ─   mathejean 24.07.2022 um 16:42
Achso, also da die geometrische Folge 2^k keine Nullfolge ist, kann auch die Reihe 2^k nicht konvergieren. Muss ich dann no CH zeigen, dass 2^k wirklich keine Nullfolge ist?   ─   usera70f42 24.07.2022 um 16:46
Es ist ja offensichtlich \(2^k\geq 1 \ \forall k \in \mathbb {N}\). Ich weiß auch nicht wie streng bei dir kontrolliert wird aber ich kann mir nicht vorstellen das du in einer Klausur dafür Punkte abgezogen bekommst   ─   mathejean 24.07.2022 um 20:41

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