Kann mir jemand diese DGL lösen?

Aufrufe: 360     Aktiv: 05.10.2023 um 14:12

0
Anfangswertproblem:

a''-6b'+8b = e^(2t)

mit: b'(0) = 0 und b''(0) = 1

Dankeschön :)

EDIT vom 03.10.2023 um 23:22:

sorry die Gleichung sollte lauten: a''-6a'+8b=e^(2t) 
Anfangsbedingungen: a'(0)=0 und a''(0)=1

Ich habe einen Ansatz mit der Variation der konstanten versucht bin aber leider nicht weiter gekommen.
Kann mir jemand helfen?

EDIT vom 03.10.2023 um 23:40:

Ich kam bis zur Allgemeinenlösung:

EDIT vom 04.10.2023 um 21:56:

So ich habe jetzt etwas raus. Kann da mal jemand drüber schauen.
Ich habe mir uch mühe gegegebn ordentlich zu schreiben.
siehe Bild.

Danke :)
gefragt

Punkte: 14

 

Muss es statt a'' vielleicht b'' heißen?
Dann wäre die DLG eindeutig lösbar.

  ─   m.simon.539 03.10.2023 um 23:01

oh ja du hast vollkommen recht da habe ich einen Tippfehler   ─   leon04 03.10.2023 um 23:02

1
Lade deine Rechnung hoch, dann sehen wir weiter.   ─   mikn 03.10.2023 um 23:27

Ok, ich kam leider nur bis zur Allg. lösung,,,,
  ─   leon04 03.10.2023 um 23:40
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Das ist eine Standardaufgabe. Hierfür habe ich das "Taschenbuch mathematischer Formeln" von H.J. Bartsch, (c) VEB Fachbuchverlag Leibzig 1982. Abschnitt 8.3.5 lautet "Lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten" und liefert die Lösung.

Dort steht: "Man löst zuerst die homogene Gleichung". Das wäre: \(a''-6a'+8a=0 \).
Also konsultiere ich jetzt Abschnit 8.3.2, "Lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten".

Dort steht, man soll \( a(t)=e^{rt} \) ansetzen, wobei r konstant. In die DLG eingesetzt liefert das eine quadratische Gleichung in r. Wenn Du die löst, erhälst Du zwei reelle Lösungen, \(r_1\) und \(r_2\). Dann ist jede Funktion der Form \(C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}\) Lösung der homogenen DGL, wobei \(C_1, C_2\) beliebige Konstanten sind. So, homogene DLG gelöst.

Weiter heißt es im Abschnitt 8.3.5. "Danach sucht man eine partikuläre Lösung. Hat die rechte Seite die Form \(Be^{nt}\), so setzt man die partikuläre Lösung \(x_p\) wie folgt an:
  • \(A e^{nt}\), falls \(r_2\not=n\not=r_1\).
  • \(A t e^{nt}\), falls \(r_2=n\not=r_1\) oder \(r_2\not=n=r_1\)
  • \(A t^2 e^{nt}\), falls \(r_2=n=r_1\)
Hier bitte die richtige Ansatzfunktion wählen und diese in die DLG einsetzten. Das liefert eine Gleichung, die Du nach A auflösen kannst.

Dann steht da weiter: "Die Lösung der DGL setzt sich dann aus der Lösung der [...] homogenen DGL und der partikulären Lösung zusammen".
D.h. die Lösung der DLG hat die Form  \(a(t)=x_p+C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}\).

Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) sind nun so zu bestimmen, dass die Anfangsbedingungen gelten.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.27K

 

1
Anstatt den kompletten Lösungsweg zu erläutern, könnte man auch einfach auf den Ansatz des Fragys eingehen... Verstehe sowieso nicht, warum man sowas noch vorkaut. Sowas sollte in den eigenen Unterlagen stehen und man sollte lernen, sich damit auseinanderzusetzen.   ─   cauchy 04.10.2023 um 00:12

1
Da hat sich was überschnitten.   ─   m.simon.539 04.10.2023 um 00:44

hm also ich habe eine andere Lösung raus, siehe Bild
. Woher kommt dein Ae^(2t)
  ─   leon04 04.10.2023 um 21:58

Das ist doch nicht der komplette Lösungsweg - der Fragy hat ja bereits die Lösung des homogenen Systems bestimmt. Für den Rest ist Variation der Konstanten ist hier sicherlich zielführend, aber bei einer DGL zweiter Ordnung schon etwas komplizierter und fehleranfällig.   ─   crystalmath 04.10.2023 um 22:17

Ja habe ich dann auch gemerkt. Aber stimmt mein Rechenweg? Ich habe mit Anfangswerten als endgültige lösung: 1/8*e^(4t) -1/4*e^(2t)   ─   leon04 04.10.2023 um 22:23

Tja, da hat die Bücher-Vorlesestunde nichts genutzt. Gehe die Hinweise genau durch. Dann wird Dir der Tippfehler in der Antwort auffallen.
Zu Deiner Rechnung. Wenn Du als part. Lösung eine Lsg der hom. Dgl ansetzt, kommt natürlich 0 raus. Das könnte Dir auffallen. Nicht blind rechnen, sondern verstehen, was Du tust. Und auch die Probe machen (eine von mehreren Stellen, an denen Dir was hätte auffallen können). Dein Ergebnis ist nicht richtig, weil wir es sagen, sondern weil Du(!) es selbst überprüft hast.
  ─   mikn 05.10.2023 um 12:17

Wirf nochmal einen Blick auf deine partikuläre Lösung. Hast du den richtigen Ansatz gewählt?   ─   crystalmath 05.10.2023 um 14:02

1
Habe das Ae^(2t) gelöscht. War ein Fehler.   ─   m.simon.539 05.10.2023 um 14:11

Kommentar schreiben