Das ist eine Standardaufgabe. Hierfür habe ich das "Taschenbuch mathematischer Formeln" von H.J. Bartsch, (c) VEB Fachbuchverlag Leibzig 1982. Abschnitt 8.3.5 lautet "Lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten" und liefert die Lösung.

Dort steht: "Man löst zuerst die homogene Gleichung". Das wäre: \(a''-6a'+8a=0 \).
Also konsultiere ich jetzt Abschnit 8.3.2, "Lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten".

Dort steht, man soll \( a(t)=e^{rt} \) ansetzen, wobei r konstant. In die DLG eingesetzt liefert das eine quadratische Gleichung in r. Wenn Du die löst, erhälst Du zwei reelle Lösungen, \(r_1\) und \(r_2\). Dann ist jede Funktion der Form \(C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}\) Lösung der homogenen DGL, wobei \(C_1, C_2\) beliebige Konstanten sind. So, homogene DLG gelöst.

Weiter heißt es im Abschnitt 8.3.5. "Danach sucht man eine partikuläre Lösung. Hat die rechte Seite die Form \(Be^{nt}\), so setzt man die partikuläre Lösung \(x_p\) wie folgt an:

• \(A e^{nt}\), falls \(r_2\not=n\not=r_1\).
• \(A t e^{nt}\), falls \(r_2=n\not=r_1\) oder \(r_2\not=n=r_1\)
• \(A t^2 e^{nt}\), falls \(r_2=n=r_1\)

Hier bitte die richtige Ansatzfunktion wählen und diese in die DLG einsetzten. Das liefert eine Gleichung, die Du nach A auflösen kannst.

Dann steht da weiter: "Die Lösung der DGL setzt sich dann aus der Lösung der [...] homogenen DGL und der partikulären Lösung zusammen".
D.h. die Lösung der DLG hat die Form  \(a(t)=x_p+C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}\).

Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) sind nun so zu bestimmen, dass die Anfangsbedingungen gelten.