Vektoren - Skalarprodukt

Aufrufe: 660     Aktiv: 05.02.2021 um 18:34
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Dir 16 b bitte. 
Kann jemand mein Ergebnis/Rechnung überprüfen?
V Kugel = 4/3 • 2^3 • pi =32/3 • pi
V Pyramide= 1/3 G h =1/3 • 1/2 • 2 • 2 •2= 4/3
Vpyramide/Vkugel=0,04=4%
Passen die 4%?
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3 Antworten
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Deine Vorgehensweise sieht gut aus, aber wo hast du die Zahlen her? Wie kommst du denn darauf, dass die Kugel den Radius 2 hat?
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

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0
Hallo,

Radius super!
VKugel super!

VPyramide Ansatz super - Ergebnis kann ich nicht nachvollziehen!

G Grundseite - das gleichseitige Dreieck: wie berechnest du die Fläche?
VPyramide: welche Höhe h benötigst du und wie groß ist die?

Überlege nochmal genau, welche Größen du für die Grundseite und am Ende für die Höhe benötigst!


Beste Grüße
Tim
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Punkte: 2.46K

 
Also ich hab das Dreieck OAB genommen. Ich habe gedacht, dass wäre rechtwinklig und dann habe ich noch dir Höhe 0C genommen.   ─   maxi1001 05.02.2021 um 07:45
Hätte ich ABC nehmen sollen und dann mit dem Sinus oder Pythagoras die Höhe1 ausrechnen sollen und dann noch mal Höhe 2   ─   maxi1001 05.02.2021 um 07:46
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Hi, also das gleichseitige Dreieck ist ja ABC (und das ist die Grundseite der Pyramide, deren Spitze in (0,0,0) ist. Die Pyramide "liegt also".

Wenn \(\sqrt{8}\) die Seite des Dreiecks ist, wie groß ist dann die Höhe des Dreiecks bzw. die Fläche?

   ─   math stories 05.02.2021 um 09:38
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Nächster Schritt wäre dann die Höhe der Pyramide!. Du kennst die Seitenlängen der Grundfläche \( \sqrt{8} \). Du kennst auch Länge der anderen Seiten, die hoch zur Spitze verlaufen - das ist aber nicht die Höhe! Die müsstest du dann, wie du sagst, mit Pythagoras aussrechnen!   ─   math stories 05.02.2021 um 09:40
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Ok, ich setze mich mal dran.   ─   maxi1001 05.02.2021 um 09:48
Ok, also:   ─   maxi1001 05.02.2021 um 09:52
Ne doch nicht   ─   maxi1001 05.02.2021 um 09:54
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Wurzel(6) kommt raus   ─   maxi1001 05.02.2021 um 09:56
Also für die Höhe   ─   maxi1001 05.02.2021 um 09:56
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Sehr gut! Und dann die Grundfläche?   ─   math stories 05.02.2021 um 09:58
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Also die Höhe, die ich angegeben habe, ist die Höhe der Grundfläche.
Nicht das wir uns falsch verstehen :)   ─   maxi1001 05.02.2021 um 09:59
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Wenn das stimmt, dann ist die Grundfläche 2Wurzel(3)   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:00
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Ja genau :)
Jetzt kannst du den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen oder?   ─   math stories 05.02.2021 um 10:00
Aber wie komme ich jetzt auf die Höhe?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:02
Habe ich dann echt ein rechtwinklig es Dreieck und kann Pythagoras anwenden?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:02
1
Das ist tatsächlich etwas tricky.
Versuche dir mal die Pyramide von der Seite vorzustellen! Welche Seiten siehst du dann?   ─   math stories 05.02.2021 um 10:05
Ehm   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:06
Naja also ich hab jetzt so weiter gemacht:   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:06
Die Höhe der Pyramide ist die Kathete eines Dreiecks, das ich mir vorgestellt habe   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:07
Aber unter der Wurzel kommt etwas negatives raus   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:08
Ich kann nur nicht Schritt für Schritt schreiben weil ich noch vieles andere zu tun habe:D   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:09
Ich bin soweit gekommen
h=Wurzel( 2 - 3)
Aber das geht ja nicht   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:10
Ich brauche Hilfe.
Warum kann 8
Ich nicht einfach die eine Grundfläche nehmen und dann die Höhe?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:12
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Ja, was negatives sollte nicht rauskommen. Das Dreieck, das du dir vorgestellt hast, welche Eckpunkte hat das?   ─   math stories 05.02.2021 um 10:13
Ok ich leg los:   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:13
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Du benötigst ja die Höhe der Pyramide und nicht der Grundfläche, das sind zwei verschiedene Größen.   ─   math stories 05.02.2021 um 10:14
Das Dreieck für die Höhe der Pyramide hat MP als Kathete, OP als Hypotenuse und OM als Kathete   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:15
Wobei P der Mittelpunkt der Strecke von A zu B ist   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:16
Und M der Mittelpunkt der Strecke PC ist.   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:16
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Da sind sehr gute Gedanken dabei - ich glaube aber, dass du mit weniger Punkten besser auskommst! :)

Den Punkt P finde ich super! O brauchst du auch (du willst ja irgendwie nach oben). C kannst du glaub ich ignorieren!

   ─   math stories 05.02.2021 um 10:22
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Wenn du die Pyramide von der Seite betrachtest (also Spitze ist jetzt mal oben). Welche drei Eckpunkte siehst du dann?   ─   math stories 05.02.2021 um 10:23
Könntest du mir nicht die Höhe mal vorrechnen? BITTE   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:23
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Du bist fast da!

Die Pyramide von der Seite hat die Punkte O, A und B.

Wie lang sind die Seiten AB, AO?   ─   math stories 05.02.2021 um 10:25
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AB = Wurzel 8   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:30
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AO=2   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:31
Also?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:41
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Ich komme nicht weiter. Die Höhe des Dreiecks Abo ist Wurzel(2)   ─   maxi1001 05.02.2021 um 10:42
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Richtig. Das Ding ist, dieses Dreieck ist die Pyramide von der Seite! Das ist also die Höhe der Pyramide! :)

Wenn du den Gedankengang folgen kannst, hast dus!   ─   math stories 05.02.2021 um 10:45
Echt, dass wars schon?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 11:00
Also [Wurzel(6)/2]?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 11:01
Aber ist das Volumen so klein?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 11:11
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Wieso Wurzel(6)/2?

VPyramide ist doch \(\frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{P}\)
Also \( \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\) oder?   ─   math stories 05.02.2021 um 11:44
Oh stimmt   ─   maxi1001 05.02.2021 um 11:50
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Ich hatte noch 1/2 aus Versehen multipliziert. Danke   ─   maxi1001 05.02.2021 um 11:51
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Was kommt also raus? :D   ─   math stories 05.02.2021 um 11:58
(2Wurzel(6)/3)
Also ca. 1,63   ─   maxi1001 05.02.2021 um 12:03
Also ist der Anteil der Pyramide an der Kugel
0,048
Also 4,8 %
Ist das so richtig? :)   ─   maxi1001 05.02.2021 um 12:04
Ich kann mir die Höhe der Pyramide schlecht vorstellen.   ─   maxi1001 05.02.2021 um 12:22
Ich hätte gedacht, diese würde von Schwerpunkt S des Dreiecks zu 0 gehen.
Warum geht sie von dem Mittelpunkt M der Strecke AB zu 0?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 12:23
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4,8% habe ich auch raus. Vom Gefühl her müsst das auch passen, da die Pyramide ja nur in einem der acht Oktanten liegt.   ─   math stories 05.02.2021 um 12:30
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Du hast recht mit dem Schwerpunkt. Es reicht aber aus, sich die Pyramide wirklich von der Seite betrachtet vorzustellen - also denk echt mal eine Pyramide in Ägypten :D

Wenn du weit weg stehst un von der Seite draufschaust, sieht das ganze wie ein Dreieck aus. Du siehst eine Grundseite AB oder AC oder BC (je nachdem von wo du guckst) und du siehst zwei Kanten, die nach oben zur Spitze verlaufen. Die Höhe der Pyramide kann man sich jetzt dazu denken.   ─   math stories 05.02.2021 um 12:33
Ok, aber sowas wie wir es jetzt gerechnet haben ist es trotzdem richtig?
Ich frage wegen dem Punkt S   ─   maxi1001 05.02.2021 um 12:38
Warum kann ich eigentlich das Dreieck ABO nicht als Grundfläche nehmen und als Höhe OC?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 12:49
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maxi1001 - du hast Recht mit dem Punkt S!

Die Spitze der Pyramide liegt genau über dem Mittelpunkt bzw. Schwerpunkt (gleichseitiges Dreieck). Die Höhe der Pyramide ist dann die Linie von O zu S. Die Hypotenuse, die du verwenden kannst ist dann die Kante OA oder OB oder OC = 2.

Die zweite Kathete (erste ist ja die Höhe) ist demnach AS also der 2/3-Anteil der Höhe von der Grundfläche.

Kannst du mir folgen?

   ─   math stories 05.02.2021 um 13:43
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Wenn du ABO als Grundfläche nimmst, dann ist das keine Pyramide mehr. Die Volumenberechnung kannst du dann nicht mehr mit der Formel 1/3*h*G berechnen.   ─   math stories 05.02.2021 um 13:52
Oh ok   ─   maxi1001 05.02.2021 um 13:55
Ok könntest du es nicht einfach einmal vorrechnen?   ─   maxi1001 05.02.2021 um 13:56
Ich sitze jetzt seit 7:45 Schulbeginn an der Aufgabe und habe alle anderen Arbeiten in Latein, Deutsch, Bio usw. noch nicht erledigt, weil ich hier schon jetzt 6 Stunden dran sitze :(
Und so langsam werde ich wahnsinnig, weil ich 6 Stunden ychok vor dem Smartphone verbringe und mein Hirn bald Matsch ist obwohl ich noch nichts getan habe :(   ─   maxi1001 05.02.2021 um 13:58
Und nein ich komme nicht klar mir den Katheten und Hypotenuse die du meinst :(   ─   maxi1001 05.02.2021 um 14:00
Bitte setz dieser Tortur ein Endeee   ─   maxi1001 05.02.2021 um 14:09
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@math stories Die Grundfläche der Pyramide ist die Fläche des Dreiecks \(\triangle ABO\) und die Höhe der Pyramide ist \(\overline{OC}\), d.h.; @maxi1001 hat von Anfang an alles richtig gemacht!
@math stories schau bitte nochmal in die gegebene Skizze der Aufgabenstellung! Die Spitze der Pyramide muss nicht zwangsweise über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegen! Hier nochmal zur Klärung:
https://www.youtube.com/watch?v=gdCcnhRnBWw
Bitte verwirre den Fragesteller nicht weiter und überlege bitte vorher was du postest.   ─   maqu 05.02.2021 um 14:15
@maxi1001: sorry, wenn ich mehr Verwirrung gestiftet habe, als dass ich helfen könnte!   ─   math stories 05.02.2021 um 14:24

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Versuch mir mal zu folgen und denke dir bei jedem Step (habe ich verstanden oder nicht)!

Das gleichseitige Dreieck hat die Seitenlänge \(\sqrt{8}\)

Die Höhe dieses Dreiecks hast du ausgerechnet ist \(\sqrt{6}\)

Grundfäche ist \(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{8} = 2\sqrt{3}\)

Für das Volumen der Pyramide benötigst du noch die Höhe der Pyramide (also von O gerade runter auf die Grundfälche.) Die landet dann beim Mittel Mittelpunkt = Schwerpunkt im gleichseitigen Dreieck. 

Jetzt kennst du noch die Kantenlänge der Pyramide 2, weil die z.B. Koordinaten (0,0,2). 

Es gilt mit Pythagoras: AO^2 = OS^2 + AS^2

AO = 2
OS = Höhe (suchen wir)
AS = 2/3*Höhe Dreieck = \( \frac{2}{3}\cdot \sqrt{6}\)

Also: 
\( h^2 = 2^2 - (\frac{2}{3}\cdot \sqrt{6})^2 = 4-\frac{8}{3} = \frac{4}{3}\)
\(h = \frac{2}{\sqrt{3}}\)

Volumen Pyramide:
\(V_p = \frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}} =  \frac{1}{3}\cdot 4\)
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Falsch! Die Grundfläche ist \(A_G=\dfrac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}|=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2=\boxed{2 FE}\) !!!
Und die Höhe ist \(h=|\overrightarrow{OC}|=2LE\) und damit folgt: \(V_P=\dfrac{1}{3} \cdot A_g \cdot h=\dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2=\boxed{\dfrac{4}{3}VE}\)
Es ist \(|\vec{c}|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8}LE\)   ─   maqu 05.02.2021 um 14:18
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maqu, ich bedanke mich bei dir :)   ─   maxi1001 05.02.2021 um 14:25
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gern geschehen ... du kannst Mathe jetzt erstmal beiseite legen und dich mit deinen anderen fächern beschäftigen ;D   ─   maqu 05.02.2021 um 14:29
Das wird Zeit.
Es ist schon echt verwunderlich. Ich hatte es von Anfang an selbst richtig gerechnet. Nur zur Kontrolle habe ich diese Frage gestellt und dann geschah das alles...
Vielen Dank nochmal!
   ─   maxi1001 05.02.2021 um 14:34
@maxi1001: ich möchte mich nochmal persönlich für die Verwirrung entschuldigen. Ich finde es super, dass du es richtig hast.

Und danke @maqu, dass du rettend eingesprungen bist!   ─   math stories 05.02.2021 um 18:30
@math stories kein Problem jeder macht mal Fehler! :)   ─   maqu 05.02.2021 um 18:34

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