Vererbung von Eigenschaften Gruppen, Halbgruppen, Monoide

Erste Frage Aufrufe: 80     Aktiv: 11.11.2023 um 16:25
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Wenn (R,*) eine gewisse Eigenschaft hat, sagen wir mal eine Gruppe ist, wie kann man dann beweisen, dass (R^X,*) auch diese Eigenschaft hat? Oder ist die Behauptung schon falsch?

"*" soll in dem Fall stellvertretend für eine beliebige Verknüpfung stehen und R eine Menge sein, beispielsweise die Menge der reellen Zahlen.


Ich freue mich auf Vorschläge :)
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Was ist $R^X$?   ─   zestysupreme 09.11.2023 um 23:00
Die Menge aller Funktionen, für die gilt f: X -> R   ─   ist mir nicht ganz cauchy 09.11.2023 um 23:26
Du musst erklären was deine Gruppenoperation sein soll.   ─   zestysupreme 10.11.2023 um 01:27
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2 Antworten
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Ich nehmen an du meinst für \(f,g \in R^X\), dass \(fg:= [x \mapsto f(x)g(x)] \), dann ist \(R^X \cong \prod_X R\) in Kategorie der Gruppen, Monoide, etc

Insbesondere es ist eine Gruppe (nicht wie anderen Antwort).

Um allgemein zu untersuchen welche Eigenschaften sich von Strukturen wie vererben, man braucht Logik. Eine gute Framework für das ist sogenannte Modelltheorie.
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Student, Punkte: 10.85K

 

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Rein intuitiv würde ich schon sagen, dass es nicht gilt, da nicht jede Funktion $f:X\rightarrow R$ eine Inverse besitzen muss, was bei einer Gruppe aber so sein muss.
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Selbstständig, Punkte: 30.27K

 
Hängt stark von der Definition des Inversen ab. Wenn du e.g. $R=\{ x>0 \}$ als multiplikative Gruppe auffasst, dann ist nicht zwangsweise jede Funktion im Sinne von $f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f=\mathrm{Id}$ invertierbar, aber $f \cdot \frac{1}{f}=1$ ist die konstante $1$-Funktion. Also solange du alles punktweise im Zielraum machst, ist alles in Ordnung.   ─   crystalmath 11.11.2023 um 16:24

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