Wie beweise ich dass diese Funktion nicht diff'bar ist?

Aufrufe: 110     Aktiv: 21.03.2021 um 14:27

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Hallo Zusammen

Ich müsste eine Funktion finden, die zwar alle Richtungsableitungen an der Stelle (0,0) besitzt, jedoch nicht differenzierbar ist, habe mir folgende ausgesucht:
\(f(x,y)=0,\,\,falls\,\,(x,y) = (0,0) ,\,\,\, f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, \,\,\, falls (x,y) \neq (0,0)\)

Dabei konnte ich beweisen dass alle Richtungsableitungen existieren, nun zum Beweis dass f nicht diff'bar ist. Darf ich das so machen:
Wir bemerken, dass die Partiellen Ableitungen in einer Umgebung von (0,0) existieren und erhalten 
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\). Nun bemerken wir, dass für \(y=0\) gilt:
\(\frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4}{x^4}=1 \neq lim_{x\rightarrow 0} \frac {\partial f}{\partial y} (x,0)\) daher kann man schliessen dass nicht alle Partiellen Ableitungen stetig sind ander Stelle (0,0) und somit ist f nicht differenzierbar auf ganz \(\mathbb{R}^2\).

Darf man das so machen oder nicht, wäre froh wenn sich das jemand kurz anschauen könnte.

Vielen Dank




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Nein, das geht nicht, weil die Unstetigkeit der part. Ableitungen nicht die Differenzierbarkeit widerlegt. Es gilt: Stetigkeit der part. Abl. impliziert Differenzierbarkeit, aber nicht umgekehrt.
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Aber wir haben einen Satz der lautet:
f ist an der Stelle x differenzierbar \(\Leftrightarrow\) die Partiellen Ableitungen von f existieren in einer Umgebung von x und sind an der Stelle x stetig.
Kann ich dann nicht daraus schliessen dass wenn sie nicht stetig sind, dass f an der stelle x nicht differenzierbar ist?
  ─   karate 21.03.2021 um 13:12

Das wundert mich. Steht da wirklich \(\iff\)? Wenn das so wäre, darf man natürlich so vorgehen. Ist aber nicht so, im Internet findet man Gegenbeispiele.   ─   mikn 21.03.2021 um 13:15

Ja das steht da so ist im Buch von Thomas C Micheals drin. Aber ja wenn das so ist dann suche ich mir eine andere Funktion, da diese meines Erachtens stetig an der Stelle (0,0) ist wenn ich diese Argumentation über die Stetigkeit der Partiellen Ableitungen nicht nutzen kann   ─   karate 21.03.2021 um 13:18

Kannst Du den Ausschnitt aus dem Buch posten, wo das steht?
Dass das nicht stimmt, steht in vielen Skripten (->Internet), aus einem entnehme ich das Gegenbeispiel: \(f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin \frac1{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}\).
Ist differenzierbar, aber part. Abl. nicht stetig.
  ─   mikn 21.03.2021 um 13:54

Habe es oben angehängt. Aber sehe ich das richtig, dass dann meine Funktion stetig ist an (0,0) uwas mir nicht viel bringen würde um zu zeigen dass die Funktion nicht diff'bar an (0,0) ist?   ─   karate 21.03.2021 um 13:59

Aus Diffbarkeit folgt Stetigkeit. Die Äquivalenz ist ja schon in 1d falsch, dann müsste ja jede diffbare Funktion automatisch eine stetige Ableitung haben. Die 2d-Gegenbeispiele sind nur Analogien zu 1d-Gegenbeispielen.   ─   mikn 21.03.2021 um 14:13

Also ist dein Kommentar bezüglich des Ausschnitts aus dem Buch oder?
Okei dann ist also hier ein Fehler im Buch vielen Dank dass du mir das aufgezeigt hat.
  ─   karate 21.03.2021 um 14:15

Ja, es steht da so wie Du gesagt hast, zweifellos und es stimmt nicht.   ─   mikn 21.03.2021 um 14:21

super vielen Dank dann zeichne ich da mal einfach nur ne Implikation hinein.   ─   karate 21.03.2021 um 14:23

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