Hallo Zusammen

Ich müsste eine Funktion finden, die zwar alle Richtungsableitungen an der Stelle (0,0) besitzt, jedoch nicht differenzierbar ist, habe mir folgende ausgesucht:
\(f(x,y)=0,\,\,falls\,\,(x,y) = (0,0) ,\,\,\, f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, \,\,\, falls (x,y) \neq (0,0)\)

Dabei konnte ich beweisen dass alle Richtungsableitungen existieren, nun zum Beweis dass f nicht diff'bar ist. Darf ich das so machen:
Wir bemerken, dass die Partiellen Ableitungen in einer Umgebung von (0,0) existieren und erhalten 
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\). Nun bemerken wir, dass für \(y=0\) gilt:
\(\frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4}{x^4}=1 \neq lim_{x\rightarrow 0} \frac {\partial f}{\partial y} (x,0)\) daher kann man schliessen dass nicht alle Partiellen Ableitungen stetig sind ander Stelle (0,0) und somit ist f nicht differenzierbar auf ganz \(\mathbb{R}^2\).

Darf man das so machen oder nicht, wäre froh wenn sich das jemand kurz anschauen könnte.

Vielen Dank