Vielleicht solltest du erstmal anfangen, das ordentlich aufzuschreiben, denn formal ist bei dir noch einiges falsch. Meinst du tatsächlich \(\mathbb{R}^2\) oder \(\mathbb{Q}^2\)? Die rationalen Zahlen bezeichnet man nämlich mit \(\mathbb{Q}\). Auch die Ausdrucksweise °quadrierte rationale Zahlen" ist falsch, denn es geht hier nicht um das Quadrieren von Zahlen, sondern um das kartesische Produkt \(\mathbb{Q}^2=\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\)!

Dann schleichen sich schon erste Fehler beim Ansatz ein. Du kannst \(x_2\#y_1=e\) gar nicht zeigen, weil \(x_2\) und \(y_1\) gar keine Elemente aus \(\mathbb{Q}^2\) (oder \(\mathbb{R}^2\)) sind. Die Elemente aus diesen Mengen sind 2-Tupel der Form \((x,y)\) mit \(x,y\in\mathbb{K}\) (ich bezeichne den Körper jetzt einfach so, da unklar ist, was hier wirklich gemeint ist). Das gleiche gilt für die Abgeschlossenheit: \(x_1,x_2,y_1,y_2\) sind keine Elemente deiner Menge. 

Dazu muss ich ja dann auch nicht erklären, dass der Ansatz für die Assoziativität auch nicht stimmt, da du wieder keine 2-Tupel betrachtest. 

Mache dir bitte noch einmal klar, wie die Schreibweise genau ist und welche Menge du tatsächlich hast. Und dann wähle die richtigen Elemente und führe die Verknüpfung so aus, wie sie angegeben ist. Auch für das Assoziativgesetz. Wenn du das so weit hast und da noch Schwierigkeiten hast, meld dich wieder!