Die Sekansfunktion ist halt definiert mit $\sec(x):=\dfrac{1}{\cos(x)}$. Es gibt auch noch den Kosekans.

Wegen dem Tangens wie ist dieser und eben Sinus und Kosinus im rechtwinkligem Dreieck definiert? Mach dir die trigonometrischen Funktionen doch einmal am Einheitskreis klar.
Darüberhinaus gibt es einen Zusammenhang der anhand der Graphen sichtbar ist. Schau genau wo der Tangens seine Nullstellen und seine senkrechten Asymptoten hat. Wie hängt das mit den Funktionen vom Sinus und Kosinus zusammen?
Desweiteren kann man die Ableitung des Tangens auch schreiben als $\tan^2(x)+1$, je nachdem welches Adiitionstheorem für das weitere Vorgehen besser ist, benutzt man das eine oder das andere oder eben den Sekans. Du hast die Ableitung ja auch berechnen lassen und nicht selbst ermittelt. Berechne doch einmal mit Hilfe der Ableitung der Unkehrfunktion (sofern es dir bekannt sein sollte) die Ableitung von $\tan(x)$ und mit Hilfe der Quotientenregel die Ableitung von $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Dann siehst du auch, dass das gleiche herauskommt, man es bloß anders schreiben kann.