Verkettung erkennen

Aufrufe: 249     Aktiv: 19.03.2023 um 19:02

0
Wieso ist die Aufleitung der Funktion f(x) = (3+x)^3 keine Verkettung?

Mein Resultat lautete: F(x) = 1/4(3+x)^4 * 1/2x^2
Die Lösung wäre aber F(x) = 1/4(3+x)^4

gefragt

Schüler, Punkte: 27

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Moin,
es handelt sich in der Tat um eine Verkettung. Nennen wir $$f(x)=(3+x)^3$$ Und nehmen wir an $$F(x)=g(x)*(3+x)^4$$ Sei die Stammfunktion, wobei $g(x)$ ein Polynom zur Korrektur ist. Leiten wir F ab, so erhalten wir $$F'(x)=g'(x)*(3+x)^4+g(x)*[(3+x)^4]'=g'(x)*(3+x)^4+g(x)*4(3+x)^3*(3+x)'=g'(x)*(3+x)^4+g(x)*4(3+x)^3$$ Der letzte Schritt folgt, weil die innere Ableitung 1 ist, d.h. $(3+x)'=1$. Vergleicht man jetzt $F'$ und $f$, erkennt man, dass g konstant, und sogar $g(x)=\frac{1}{4}$ sein muss. Wir multplizieren beim Ableiten der Stammfunktion mit der Ableitung der inneren Funktion (das besagt die kettenregel). Entsprechend muss man beim integrieren durch die Ableitung der inneren Funktion teilen (solange die innere Funktion linear ist), du hast jedoch mit der (falschen) Stammfunktion der inneren Funktion multipliziert.. In unserem Fall teilen wir durch 1, das Resultat bleibt also dasselbe.
Solltest du eine verkettete Funktion integrieren wollen, deren innerer Teil nicht linear ist, musst du eine Substitution verwenden.
LG
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 3.85K

 

Kommentar schreiben