Pozentgleichung

Aufrufe: 184     Aktiv: vor 6 Monaten, 3 Wochen

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4^x -5*2^x +4 = 0 Ich versuche die Gleichung seit einer Stunde zu lösen mit dem Logarithmus, aber ich komme einfach rechnerisch nicht auf die Lösung x1=0 und x2=0. Da ich mir allgemein mit solchen Gleichungen schwertue, wäre es sehr nett wenn mir jemand die dementsprechende Vorgehensweise erläutern würde. Wahrscheinlich habe ich nur einen dummen Denkfehler oder habe einen Trick übersehen.
gefragt vor 6 Monaten, 3 Wochen
a
andre_ue,
Punkte: 34

 

X2= natürlich 2, habe mich verschrieben.   ─   andre_ue, vor 6 Monaten, 3 Wochen
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3 Antworten
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geantwortet vor 6 Monaten, 3 Wochen
d
derpi-te
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Hier lautet der Trick "Substitution". Da solltest du erkennen, dass man \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) schreiben kann und entsprechend wählt man \(u = 2^x\).

\(u^2 - 5u + 4 = 0\)

Das mit pq-Formel angehen (oder ähnlichem)

\(u_1 = 1\)

\(u_2 = 4\)

Nun noch resubstituieren:

\(2^{x_1} = u_1\)

\(x_1 = \log_2{u_1} = \log_21 = 0\)

\(2^{x_2} = u_2\)

\(x_2 = \log_2{u_2} = \log_24 = 2\)

Die von dir genannten Lösungen.

 

geantwortet vor 6 Monaten, 3 Wochen
o
orthando
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Hey,

deine Gleichung lautet: \( 4^x - 5\cdot 2^x + 4 = 0 \). Du kannst hier zunächst substituieren \(2^x = z \). Dann lautet deine Gleichung umgeschrieben:

\( z^2 - 5z + 4 = 0\)

Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichungen, ermittelt mit z.B. der pq-Formel lauten:

\( z_1 = 1 \) und \( z_2 = 4 \)

Jetzt muss noch resubstituiert werden.

\( 2^x = z_1 = 1 \Leftrightarrow x = log_2(1) = 0 \)

\( 2^x = z_2 = 4 \Leftrightarrow x = log_2(4) = 2 \)

Das sollten dementsprechend deine beiden Lösungen der Gleichung sein.

geantwortet vor 6 Monaten, 3 Wochen
el_stefano
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