Hallo,

du definierst die Funktion über Teilfunktionen. Wichtig ist nur darauf zu achten, das die Teilfunktionen selbst stetig auf den Intervallen sind und stetig ineinander übergehen.

Wir fangen an mit der Funktion 

$$ f(x) = -3x + 8 $$

für das Intervall \( [1,2] \). Am Ende dieses Intervalls hat die Funktion den Funktionswert 

$$ f(2) = -3 \cdot 2 + 8 = -6 + 8 = 2 $$

Bei \( x= 6 \) soll der Funktionswert gleich \( -1 \) sein. Also brauchst du als nächstes eine Funktion die die beiden Punkte 

$$ P(2|2) \ \text{und} \ Q(6|-1) $$ 

verbindet. Wie sieht so eine Funktion aus?

Als nächstes brauchen wir eine Funktion die sich asymptotisch dem Funktionswert \( 7 \) annähert. 

Nehmen wir die Funktion

$$  g(x) = \frac x {x+1} $$

Diese müssen wir nun etwas verschieben. Diese konvergiert bei \( x \to \pm \infty \) gegen \( \pm 1 \).

Deshalb schieben wir den Mittelpunkt auf den Punkt \( Q(6|-1) \). Zuerst verschieben wir sie \( 6 \) auf der \( x\)-Achse 

$$ h(x) = g(x-6) = \frac {x-6} {x-5} $$

und \(-1 \) auf der \(y\)-Achse 

$$ i(x) = h(x) - 1 = \frac {x-6} {x-5} -1 $$ 

Diese Funktion konvergiert nun gegen

$$ \lim\limits_{x \to \infty} i(x) = 1 -1 = 0 $$

Also müssen wir die Funktion noch strecken. Damit die Funktion sich der \( 7 \) asymptotisch nähert, muss der Grenzwert des Bruches \( 8 \) ergeben, denn \( 8-1 = 7 \). 
Also mutliplizieren wir den Bruch mit \( 8 \) und erhalten die Funktion

$$ k(x) = 8 \frac {x-6} {x-5} - 1 $$

Es gibt auch noch andere Funktionen die man ummodelieren könnte. Aber diese kam mir jetzt zuerst in den Sinn.

Deinen letzten Punkt verstehe ich leider nicht. Was meinst du mit

$$ \lim f(x) = - \infty $$

Grüße Christian