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Hallo Zusammen 

Ich hätte folgende Aufgabe.

Wir betrachten die inhomogene Differentialgleichung \(ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=f(t)\) (1) mit \(a,b,c \in \mathbb{R}\) und \(f(t)\) eine stetige Funktion. 
Zeige dass wenn \(x_1(t),x_2(t)\) eine Lösung für (1) sind, dann ist ihre Differenz eine Lösung der zu (1) assoziierten homogenen Gleichung.

Ich habe es wie folgt gemacht, bin mir da aber unsicher ob das so stimmt da die Aufgabe verhältnissmässig viele Punkte giebt, ich aber wirklich sehr wenig beweisen musste.

Beweis
Sei \(x_1(t),x_2(t)\) eine Lösung für (1). Daraus folgt
\(1.\,\,\,ax_1''(t)+bx_1'(t)+cx_1(t)=f(t) \)
\(2.\,\,\,ax_2''(t)+bx_2'(t)+cx_2(t)=f(t) \)

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen voneinander und klammert jeweils a,b,c aus so erhält man 
\(a(x_2''(t)-x_1''(t))+b(x_2'(t)-x_1'(t))+c(x_2(t)-x_1(t))=0 \\
\Leftrightarrow a(x_2(t)-x_1(t))''+b(x_2(t)-x_1(t))'+c(x_2(t)-x_1(t))=0 \Rightarrow x_2(t)-x_1(t)\) löst die homogene Gleichung.


Könnte sich das jemand kurz anschauen?


Vielen Dank
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1 Antwort
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Perfekt, alles richtig, genauso wird's gemacht, mehr ist da nicht zu tun.
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Ah wirklich oh super das freut mich vielen Dank!   ─   karate 02.05.2021 um 21:48

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