Wir haben einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,F,P)$ und daher ist die Menge aller $\omega_k \in \Omega$ mit $P( \omega_k)=0$ ebenfalls diskret. Wichtig: Das gilt NICHT im allgemeinen Fall und zeigt, dass die Annahme, dass der WR diskret ist, essentiell ist.

Dann gilt nämlich, dass $\Omega \setminus \underbrace{ \cup_ k \{ \omega_k \}}_{:=N} \in F$ ein Element der Sigma-Algebra ist und inbesondere können wir über Wahrscheinlickeiten Reden. Es gilt $P(N)=0$. Genauso verfahren wir mit den $A_j$ und schauen uns stattdessen $A_j \setminus N $. Dies ändert nichts an den Wahrscheinlichkeiten. Jetzt gilt

$$
P(\cap_j A_j)=P( \cap_j A_j \setminus N)= \prod_{j } \frac{1}{2}=0.
$$

Damit folgt aber bereits $\cap_j A_j \setminus N=\emptyset$. Inbesondere enthält der Durchschnitt aller $A_j$ keinen einzigen Punkt $\omega \in \Omega$ mit $P(\omega)>0$ enthält.

Jetzt nutzen wir das Borel-Cantelli Lemma. Wir haben

$$\sum_j P(A_j)=\sum_j P(A_j \setminus N)=\sum_j \frac{1}{2}=\infty $$
und daher auch

$$P(\limsup_{j \to \infty} A_j)=P(\limsup_{j \to \infty} A_j \setminus N )=1.$$
Nun gilt aber damit auch
$$
\limsup_{j \to \infty} A_j \setminus N=\Omega \setminus N  $$
und es gibt ein $\hat{\omega}$, welches in unendlich vielen $A_j \setminus N$ auftaucht, also inbesondere gilt $P( \hat{\omega})>0.$ Sei nun $A_l$ genau diese Folge mit $\hat{\omega} \in A_l$. Aber aus der obigen Rechnung folgt bereits, dass $\cap_l A_l$ keinen Punkt mit positiver Wahrscheinlichkeit enthält. Ein Widerspruch.