Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum

Aufrufe: 117     Aktiv: 17.05.2024 um 18:09

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Zeigen Sie, dass es keinen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum geben kann, in dem es abzählbar viele unabhängige Ereignisse \(A_j\), \(j \in \mathbb{N}\), gibt mit \(P(A_j) = \frac{1}{2}\) für jedes \(j \in \mathbb{N}\).
 
Würde Behaupten, das lässt sich am besten per Widerspruch lösen
 
$$P\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j\right) = \sum_{j=1}^{\infty} P(A_j) = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty$$
 
Widerspruch.
Das ist jetzt nur meine sehr sehr grobe Beweisidee. Wäre für Ratschläge dankbar, da ich kein guten Beweis zustande bekommen konnte, falls meine "Beweisskizze" überhaupt schlüssig ist :)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Wir haben einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,F,P)$ und daher ist die Menge aller $\omega_k \in \Omega$ mit $P( \omega_k)=0$ ebenfalls diskret. Wichtig: Das gilt NICHT im allgemeinen Fall und zeigt, dass die Annahme, dass der WR diskret ist, essentiell ist.

Dann gilt nämlich, dass $\Omega \setminus \underbrace{ \cup_ k \{ \omega_k \}}_{:=N} \in F$ ein Element der Sigma-Algebra ist und inbesondere können wir über Wahrscheinlickeiten Reden. Es gilt $P(N)=0$. Genauso verfahren wir mit den $A_j$ und schauen uns stattdessen $A_j \setminus N $. Dies ändert nichts an den Wahrscheinlichkeiten. Jetzt gilt

$$
P(\cap_j A_j)=P( \cap_j A_j \setminus N)= \prod_{j } \frac{1}{2}=0.
$$

Damit folgt aber bereits $\cap_j A_j \setminus N=\emptyset$. Inbesondere enthält der Durchschnitt aller $A_j$ keinen einzigen Punkt $\omega \in \Omega$ mit $P(\omega)>0$ enthält.

Jetzt nutzen wir das Borel-Cantelli Lemma. Wir haben

$$\sum_j P(A_j)=\sum_j P(A_j \setminus N)=\sum_j \frac{1}{2}=\infty $$
und daher auch

$$P(\limsup_{j \to \infty} A_j)=P(\limsup_{j \to \infty} A_j \setminus N )=1.$$
Nun gilt aber damit auch
$$
\limsup_{j \to \infty} A_j \setminus N=\Omega \setminus N  $$
und es gibt ein $\hat{\omega}$, welches in unendlich vielen $A_j \setminus N$ auftaucht, also inbesondere gilt $P( \hat{\omega})>0.$ Sei nun $A_l$ genau diese Folge mit $\hat{\omega} \in A_l$. Aber aus der obigen Rechnung folgt bereits, dass $\cap_l A_l$ keinen Punkt mit positiver Wahrscheinlichkeit enthält. Ein Widerspruch.

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Gern geschehen, kann man sicher noch besser aufschreiben - aber in jedem Fall ist das eine Anwendung des Borel-Cantelli Lemmas.   ─   crystalmath 17.05.2024 um 18:09

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