Zum Inkreisradius:

Jeder Winkel im gleichseitigen Dreieck ist ja \(60^{\circ}\). Betrachte die folgende Skizze:

Du baust dir ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Katheten jeweils der Inkreisradius \(r\) ist und die Hälfte der Grundseite \(\dfrac{1}{2} a\). Da sich der Inkreis über den Schnittpunkt der Winkelhalbierende ergibt, ist die Winkel, welcher an die Kathete \(\dfrac{1}{2} a\) anliegt \(30^{\circ}\). Nun kannst du mit Hilfe der Tangensbeziehung \(r\) ausrechnen. Es gilt:

\(\tan (30^{\circ}) =\dfrac{r}{\frac{1}{2} a} \quad \Leftrightarrow \quad r=\dfrac{1}{2} a \cdot \tan (30^{\circ})\)

Mit entsprechender Länge der Grundseite ausrechnen und fertig.

Zur Aufgabenstellung: 

Fläche berechnet sich durch \(A=\dfrac{1}{2} a \cdot h_a\). Die Grundseite ist gegeben mit \(a=12\). Die Höhe errechnet sich über den Satz des Pythagoras, wie du es auch schon richtig gemacht hast.

Hoffe das hilft weiter.