Cauchy-Kriterium für Reihen

Aufrufe: 234     Aktiv: 31.07.2023 um 18:14

0

Das Cauchy-Kriterium lautet:

Und jetzt möchte ich das für die harmonische Reihe $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$ prüfen. Ich weiss, dass die Reihe divergiert (es gibt genug Beweise im Netz), aber bezüglich dem Cauchy Kriterium habe ich einen Knoten im Kopf.

Was ich nicht verstehe ist, dass eine Summe von solchen Brüchen ja trotzdem beliebig klein werden kann und somit kleiner als jedes Epsilon, welches ich voher wähle. Oder anders gesagt; gib mir ein Epsilon und ich gib dir eine Summe von Brüchen (mit n_0 < n < m), welche kleiner ist als das gewählte Epsilon. Das würde bedeuten, dass die Reihe konvergiert, was aber ein Widerspruch zur Divergenz wäre...

Wo ist hier mein Denkfehler? Kann es sein, dass aus der Konvergenz das Cauchy Kriterium folgt, aber nicht notwendigerweise umgekehrt?

 

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 93

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Letzteres schonmal nein, denn da steht ja "genau dann wenn", also $\iff$.
gib mir ein Epsilon und ich gib dir eine Summe von Brüchen (mit $n_0 < n < m$), welche kleiner ist als das gewählte Epsilon": Das wird nicht klappen, denn da es ja für alle $m$ gelten soll, muss es auch für $m\to\infty$ gelten, also $\varepsilon$ vorgegeben, dazu $n_0$ (nur mal angenommen) müsste also $\sum\limits_{j=n_0+2}^\infty \frac1j< \varepsilon$ sein. Das klappt aber nicht (wenn man endlich viele Summanden einer divergenten Reihe weglässt, divergiert der Rest immer noch).



Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.21K

 

Hi mikn, danke für deine Antwort.
Ich glaube, dass ich es verstanden habe.
D.h. wenn ich also ein Epsilon > 0 wähle z.b. $\epsilon=1/2$, dann wähle ich mein n und m sodass ich diese summe habe: 1/4 + 1/5 was kleiner ist als 1/2, was das Kriterium 'vorschreibt'. Da es aber für alle m gelten muss, muss es auch insbesondere für 1/4+1/5+1/6 gelten, was hier aber nicht der Fall ist.
Dies wäre ein Widerspruch zu Konvergenz, weil es ein Widerspruch zum Kriterium ist, oder?
  ─   aequus formidus 31.07.2023 um 18:08

Nicht ganz...
Du wählst z.B. $\varepsilon =\frac12$, dann müsste (sofern das CK erfüllt wäre) es ein $n_0$ geben mit $\sum\limits_{j=n_0+2}^m \frac1j<\frac12$ für alle $m$. Das geht aber nicht.
Beachte genau die Logik und die Abfolge: für alle ... gibt es ein ... so dass für alle... und alle ... gilt...
  ─   mikn 31.07.2023 um 18:14

Kommentar schreiben