Erstmal müsstest du die Binomialkoeffizienten miteinander multiplizieren, statt zu addieren. Aber mit deinem Ansatz gibt es noch ein größeres Problem, nämlich zählst du manche Kombinationen doppelt. Zum Beispiel ein Ausschuss mit zwei Mitgliedern \(A_1,A_2\) aus \(A\), einem Mitglied aus \(B\) und drei Mitgliedern aus \(C\) zählst du doppelt, denn du kannst einmal \(A_1\) aus \(A\) wählen, und einmal \(A_2\). Deshalb funktioniert das so leider nicht.
Ich weiß leider nicht, was die Siebformel ist; den Namen hab ich noch nie gehört. Ich würde mit dem Additionssatz arbeiten. Es ist $$|\text{mind. 1 A, mind. 1 B}|=|\text{mind. 1 A}|+|\text{mind. 1 B}|-|\text{mind. 1 A oder 1 B}|$$ Jetzt fragst du dich vielleicht, wie das weiterhilft, denn wir haben immer noch das gleiche Problem wie oben. Aber diese Anzahlen kann man leicht über das Gegenereignis berechnen. Es ist z.B. $$|\text{mind. 1 A}|=|\text{alle Kombinationen}|-|\text{kein A}|=\binom{21}6-|\text{nur aus B,C}|=\binom{21}6-\binom{14}6$$
Kannst du die anderen beiden Summanden selbst ausrechnen?