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Aus je 7 Mitgliedern der Parteien A, B und C soll ein 6-köpfiger Ausschuss gebildet werden. Wie viele Ausschusszusammensetzungen gibt es,  wenn mindestens ein A-Mitglied und ein B-Mitglied dabei sein sollen?

Ich würde folgendermaßen vorgehen:

einer aus A "ziehen": 7 über 1
einer aus B "ziehen": 7 über 1
und die restlichen 4 können aus A,B oder C sein. Die Menge aus der gezogen werden kann ist dann nur noch 19 und somit: 19 über 4

-> (7 über 1) + (7 über 1) + (19 über 4) = 3890

Hinweis bei der Aufgabe war allerdings, die Siebformel zu verwenden. Die hab ich zum einen nicht wirklich verstanden und zum anderen scheint mir diese herangehensweise absolut sinn zu machen, bin mir aber unsicher.

Vielen Dank für eure Einschätzungen zur Herangehensweise :)
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Erstmal müsstest du die Binomialkoeffizienten miteinander multiplizieren, statt zu addieren. Aber mit deinem Ansatz gibt es noch ein größeres Problem, nämlich zählst du manche Kombinationen doppelt. Zum Beispiel ein Ausschuss mit zwei Mitgliedern \(A_1,A_2\) aus \(A\), einem Mitglied aus \(B\) und drei Mitgliedern aus \(C\) zählst du doppelt, denn du kannst einmal \(A_1\) aus \(A\) wählen, und einmal \(A_2\). Deshalb funktioniert das so leider nicht.
Ich weiß leider nicht, was die Siebformel ist; den Namen hab ich noch nie gehört. Ich würde mit dem Additionssatz arbeiten. Es ist $$|\text{mind. 1 A, mind. 1 B}|=|\text{mind. 1 A}|+|\text{mind. 1 B}|-|\text{mind. 1 A oder 1 B}|$$ Jetzt fragst du dich vielleicht, wie das weiterhilft, denn wir haben immer noch das gleiche Problem wie oben. Aber diese Anzahlen kann man leicht über das Gegenereignis berechnen. Es ist z.B. $$|\text{mind. 1 A}|=|\text{alle Kombinationen}|-|\text{kein A}|=\binom{21}6-|\text{nur aus B,C}|=\binom{21}6-\binom{14}6$$
Kannst du die anderen beiden Summanden selbst ausrechnen?
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das sieht für mich nach der "Siebformel" aus! Jetzt hab ich die auch endlich mal verstanden...
der zweite Summand müsste auch (21 über 6)−(14 über 6) sein (?)
beim dritten ist das Gegenereignis kein A und kein B, also (21 über 6) - (7 über 6)

beim dritten Summanden bin ich mir sehr unsicher...

Aber auf jeden Fall vielen Dank für deine mega gute Erklärung :)
  ─   mamim 20.04.2021 um 23:38

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Dann ists ja gut, dass ich die richtige Formel genommen hab. Und ja, du hast alles richtig ausgerechnet.   ─   stal 21.04.2021 um 08:35

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