Die Reihe \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) ist konvergent (z.B. nach dem Leibniz-Kriterium). Wäre \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) nun ebenfalls konvergent, dann müsste auch die Differenz \( \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}) - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n} \) eine konvergente Reihe sein, aber das ist falsch (Die harmonische Reihe divergiert). Also kann \( \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) nicht konvergent sein.