Ist 0 ein Eigenwert von f oder nicht?

Aufrufe: 1201     Aktiv: 09.03.2021 um 09:33
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Aufgabe:
Gegeben sei eine lineare Abbildung \(f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\). Es gelte \(dim( \mathbb{R}^4) = 3\).
Weiters sei \(A\) eine Abbildungsmatrix von \(f\) (Bezüglich welcher Basis ist im weiteren nicht relevant).

  1. Sind die Spalten von \(A\) linear unabhängig? (Begründung!)
  2. Ist 0 ein Eigenwert von \(f\) oder nicht? (Begründung!)


Ansatz:
  1. Die Spalten von \(A\) sind nicht linear unabhängig, da die Dimension 3 ist und nicht 4 ?!


  2. Bei der zweiten Frage weiß ich nicht wirklich, wie ich das begründen soll.
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Die Matrix \(A\) hat nicht vollen Rang, wie du schon erkannt hast. Was bedeutet das für die Determinante und welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Eigenwerten und der Determinante einer Matrix? Oder stelle dir eine Matrix mit Nullzeile vor. Findest du \(v \neq 0\) mit \(Av=0\)?
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