Vielleicht ein maximal einfaches Beispiel:
\(G_1=\{0,1\}\). Auf dieser Menge definiere die Verknüpfung \(a\oplus b = a+b-2ab\). Dann ist \((G_1,\oplus)\) eine Gruppe.
\(G_2=\{1,-1\}\). Dann ist \((G_1, \cdot)\) eine Gruppe.
Sei \(H=G_1 \times G_2\). Auf dieser Menge definiere die Verknüpfung  \(\odot\) durch \((x_1,x_2) \odot (y_1,y_2) = (x_1 \oplus y_1,  x_2 \cdot y_2)\).
Dann ist \((H, \odot)\) eine Gruppe.
Dann ist z.B. \((1,-1) \cdot (0,-1) = (1 \oplus 0,  -1 \cdot -1) = (1,1)\).

Die Gruppentabelle sähe dann so aus:

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}
  \odot & (0,1) & (0,-1) & (1,1) & (1,-1) \\ \hline
  (0,1) &&&& \\ \hline
  (0,-1) &&&& \\ \hline
  (1,1) &&&& \\ \hline
  (1,-1) &&(1,1) && \\ \hline
\end{array} \)

Wobei natürlich noch die 15 leeren Zellen zu füllen sind.

\((H,\odot)\) ist kommuntativ, weil \((G_1,\oplus)\) und \((G_2,\cdot)\) kommutativ sind; dies ist ein allgemeines Gesetz, was man leicht beweisen kann.