Vielleicht ein maximal einfaches Beispiel:
$G_1=\{0,1\}$. Auf dieser Menge definiere die Verknüpfung $a\oplus b = a+b-2ab$. Dann ist $(G_1,\oplus)$ eine Gruppe.
$G_2=\{1,-1\}$. Dann ist $(G_1, \cdot)$ eine Gruppe.
Sei $H=G_1 \times G_2$. Auf dieser Menge definiere die Verknüpfung  $\odot$ durch $(x_1,x_2) \odot (y_1,y_2) = (x_1 \oplus y_1,  x_2 \cdot y_2)$.
Dann ist $(H, \odot)$ eine Gruppe.
Dann ist z.B. $(1,-1) \cdot (0,-1) = (1 \oplus 0,  -1 \cdot -1) = (1,1)$.

Die Gruppentabelle sähe dann so aus:

$\begin{array}{c|c|c|c|c}   \odot & (0,1) & (0,-1) & (1,1) & (1,-1) \\ \hline   (0,1) &&&& \\ \hline   (0,-1) &&&& \\ \hline   (1,1) &&&& \\ \hline   (1,-1) &&(1,1) && \\ \hline \end{array}$

Wobei natürlich noch die 15 leeren Zellen zu füllen sind.

$(H,\odot)$ ist kommuntativ, weil $(G_1,\oplus)$ und $(G_2,\cdot)$ kommutativ sind; dies ist ein allgemeines Gesetz, was man leicht beweisen kann.