Wenn Du eines der üblichen Kriterien anwenden willst, brauchst Du die Reihe in der Form $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$. Die hast Du hier gegeben, wobei aber gilt: $a_i=0$ für alle ungeraden $i$ (das siehst Du sofort, wenn Du die Summe ausschreibst). Daher kannst Du hier die meisten Kriterien nicht direkt anwenden.
Du hast anscheinend (Leser muss raten, da Du es nicht erklärst) erstmal geprüft, ob die Summanden eine Nullfolge bilden. Ja, das tun sie, aber nur weil die eine Teilfolge konstant 0 ist und die andere eine Nullfolge. $\frac1\infty=0$ hat hier nichts zu suchen, das ist Unsinn. Man darf schreiben $\lim... =0$.
Deine Überlegung mit dem Leibniz-Kriterium gehen aus oben genannten Gründen ins Leere, aber auch, weil wir hier eine komplexe Folge haben, bei der also Monotonie sowieso nicht greifen kann.
Ein vernünftiges Vorgehen ist, $u=z^2$ zu setzen, und die Reihe mit $x$ umzuschreiben. Dann löst sich das oben genannte Problem mit den ungeraden Indices in Luft auf und wir haben einige der üblichen Kriterien zur Verfügung (aber nach wie vor kein Leibniz-Krit!).
Du kannst nun das Quotientenkriterium anwenden, und stellst damit leicht fest, für welche $u$ die Reihe konvergiert. Daraus ergibt sich dann auch, für welche $z$ die Reihe konvergiert.

So funktioniert das ohne Vorkenntnisse. Man kann aber auch, wenn einem die Reihe irgendwie bekannt vorkommt, gleich b) bearbeiten, dort fällt das Ergebnis von a) als Nebenprodukt auch an.

Moin,
immer wenn eine Reihe der Art \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z_0-z)^n\) gegeben ist, nennt man das Potenzreihe. Schlage den Begriff nach. Eine häufige Fragestellung lautet dann, für welche \(z\in \mathbb{C}\) oder \(z\in \mathbb{R}\) die Potenzreihe konvergiert. Um das zu bestimmen, führt man den Begriff des Konvergenzradius ein (nachschlagen). Den kann man dann mittels \(R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\) oder \(R=\lim\limits_{n\to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\) berechnen (Man setzt \(\frac{1}{0}:=\infty\) und \(\frac{1}{\infty}:=0\)). Es gilt also, dass die Potenzreihe für alle \(z\) mit \(|z_0-z|<R\) konvergiert. Die Randpunkte \(|z_0-z|=R\) muss man selbständig prüfen, falls vorhanden. Für alle \(z\) mit \(|z_0-z|>R\) divergiert die Potenzreihe.
LG