Konvergenz einer Reihe

Aufrufe: 134     Aktiv: 27.11.2022 um 20:49

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Könnte mir jemand hier bitte weiterhelfen? IEs scheitert bei mir gerade zu beweisen, dass an+1 kleiner ist als an (mittels Leibniz-Krit.) und anschließend den Parameter z zu berechnen.
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Wenn Du eines der üblichen Kriterien anwenden willst, brauchst Du die Reihe in der Form $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$. Die hast Du hier gegeben, wobei aber gilt: $a_i=0$ für alle ungeraden $i$ (das siehst Du sofort, wenn Du die Summe ausschreibst). Daher kannst Du hier die meisten Kriterien nicht direkt anwenden.
Du hast anscheinend (Leser muss raten, da Du es nicht erklärst) erstmal geprüft, ob die Summanden eine Nullfolge bilden. Ja, das tun sie, aber nur weil die eine Teilfolge konstant 0 ist und die andere eine Nullfolge. $\frac1\infty=0$ hat hier nichts zu suchen, das ist Unsinn. Man darf schreiben $\lim... =0$.
Deine Überlegung mit dem Leibniz-Kriterium gehen aus oben genannten Gründen ins Leere, aber auch, weil wir hier eine komplexe Folge haben, bei der also Monotonie sowieso nicht greifen kann.
Ein vernünftiges Vorgehen ist, $u=z^2$ zu setzen, und die Reihe mit $x$ umzuschreiben. Dann löst sich das oben genannte Problem mit den ungeraden Indices in Luft auf und wir haben einige der üblichen Kriterien zur Verfügung (aber nach wie vor kein Leibniz-Krit!).
Du kannst nun das Quotientenkriterium anwenden, und stellst damit leicht fest, für welche $u$ die Reihe konvergiert. Daraus ergibt sich dann auch, für welche $z$ die Reihe konvergiert.

So funktioniert das ohne Vorkenntnisse. Man kann aber auch, wenn einem die Reihe irgendwie bekannt vorkommt, gleich b) bearbeiten, dort fällt das Ergebnis von a) als Nebenprodukt auch an.

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Lehrer/Professor, Punkte: 31.79K

 

Letzte Zeile zweiter Absatz: $z$ statt $u$. :)   ─   cauchy 27.11.2022 um 19:36

@cauchy danke.   ─   mikn 27.11.2022 um 19:45

Danke 👍   ─   user07e035 27.11.2022 um 20:49

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Moin,
immer wenn eine Reihe der Art \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z_0-z)^n\) gegeben ist, nennt man das Potenzreihe. Schlage den Begriff nach. Eine häufige Fragestellung lautet dann, für welche \(z\in \mathbb{C}\) oder \(z\in \mathbb{R}\) die Potenzreihe konvergiert. Um das zu bestimmen, führt man den Begriff des Konvergenzradius ein (nachschlagen). Den kann man dann mittels \(R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\) oder \(R=\lim\limits_{n\to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\) berechnen (Man setzt \(\frac{1}{0}:=\infty\) und \(\frac{1}{\infty}:=0\)). Es gilt also, dass die Potenzreihe für alle \(z\) mit \(|z_0-z|<R\) konvergiert. Die Randpunkte \(|z_0-z|=R\) muss man selbständig prüfen, falls vorhanden. Für alle \(z\) mit \(|z_0-z|>R\) divergiert die Potenzreihe.
LG
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Student, Punkte: 2.73K

 

Die Standardform einer Potenzreihe hat die Potenzen $(z-z_0)^n$. Ja, ich weiß, dass es für Dich (@fix) offensichtlich ist, dass man es auch so wie Du schreiben kann. Aber warum? Nur um wieder ein eigenes Verständnis von Didaktik zu demonstrieren?
Diese Setzung mit $\frac1\infty$ usw. hab ich auch noch nie gesehen, aber sollte ich da eine Lücke haben, erfahre ich gerne eine Quelle dazu.
Außerdem heißt der Begriff "Konvergenzradius" (nicht Potenzradius) und man kann ihn NICHT immer mit diesen Formeln berechnen. Und auch gerade bei dieser Reihe nicht.
Und zu guter letzt: Dies ist auch keine Potenzreihe nach Deiner Def. (auch nicht nach meiner).
  ─   mikn 27.11.2022 um 18:35

Ich habe hier nur kurz zusammengefasst, was sowieso schon in der Vorlesung behandelt wurde, bzw. was man in der Literatur und in Skripten findet. Die Konvention, dass man \(\frac{1}{\infty}:=0\) setzt und analog \(\frac{1}{0}:=\infty\) findet sich in so ziemlich jedem Skript, was ich finden konnte und auf Wikipedia.   ─   fix 27.11.2022 um 18:59

Hab ich ein anderes wikipedia? Bitte sag mir genau, wo auf https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius das steht.
Du verbreitest hier ein großes Durcheinander. Ich warte weiter auf eine Quelle für diese Setzung, auch für Deine Form der Potenzreihe. Wenn es so weit verbreitet ist, sollte das ja kein Problem sein.
  ─   mikn 27.11.2022 um 19:04

Genau unter deinem Link in der Sektion "Bestimmung des Konvergenzradius" steht genau diese Konvention, Zitat: "Dabei gilt r = 0, falls der Limes superior im Nenner gleich \(\infty\) ist, und \(r=\infty\), falls er gleich 0 ist." Das gleiche steht unter https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe.
Ich verstehe nicht, warum das für dich so ein Problem zu seien scheint, diese Konvention /Definition benutzt wirklich jeder.
  ─   fix 27.11.2022 um 19:14

Ich weiß nicht, welchen Sinn eine Antwort hat, wenn man nur Dinge aus Skripten/Seiten zusammenfasst, ohne dabei auf das konkrete Problem des Fragys einzugehen. Dieser schreibt nämlich, dass er nicht weiterkommt und nicht, dass er nicht weiß, was ein Konvergenzradius ist. Insofern liefert die Antwort rein gar nicht außer Verwirrung aufgrund der Punkte, die mikn bereits angesprochen hat.   ─   cauchy 27.11.2022 um 19:26

Der Fragesteller hat gar nicht erst versucht, den Konvergenzradius auszurechnen, er hat also die Potenzreihe nicht erkannt, oder ihm ist der Begriff des Konvergenzradius nicht geläufig. In jedem Fall muss er erstmal die Begriffe kennen, ich habe sie kurz zusammengefasst, für den Fall, dass der Fragesteller den Stoff draufhat, sich aber gerade nicht erinnert. Falls er sich mit dem Thema noch gar nicht beschäftigt hat, muss er das erst tun, bevor er Aufgaben dazu bearbeitet (deshalb habe ich "nachschlagen" geschrieben).   ─   fix 27.11.2022 um 19:30

Dort steht eben nicht $\frac1\infty=0$, und das aus gutem Grund. Und das zitierst Du auch nicht. Wenn Du wikipedia abschreibst, dann richtig. Diese Konvention habe ich NIE gesehen (ok, bei wikipedia-Potenzreihe steht es, schlimm genug). Dass $r=\infty$ falls er gleich 0 ist, benutzt jeder. Aber nicht Deine Rechenvorschrift. Dass das ein Unterschied ist, sollte Dir als "Mathe/Physik-Stud" klar sein. Kommen noch Quellen oder nicht?
"Nachschlagen" wäre auch für Dich ein guter Rat.
  ─   mikn 27.11.2022 um 19:32

Du liest scheinbar auch meine Antworten nicht richtig. Ich habe eben NICHT geschrieben, dass \(\frac{1}{\infty}=0\), sondern \(:=\), also , dass es nicht allgemein gleich ist, im Zusammenhang des Konvergenzradius aber der Einfachheit halber so benutzt wird. Man kann auch Wikipedia nicht 1 zu 1 zitieren, da dort ein anderes Format benutzt wird. Ich habe aber bis auf die Formatierung genau das gleiche geschrieben, was auf Wikipedia steht. Die Quelle zur Konvention habe ich auch schon geschrieben, dort findet sich auch die Definition der Potenzreihe, so wie ich sie geschrieben habe. Weitere Quellen sind:
https://users.fmi.uni-jena.de/~novak/analysis1.pdf (Satz 7.5.5 und Definition 7.5.1)
https://www.hcm.uni-bonn.de/fileadmin/schlein/analysis/analysis1-fin.pdf (Kapitel 7.1 und die Konvention unter (12))
https://www.math.hu-berlin.de/~baum/Skript/Analysis-LA-14-15-Summe.pdf (Definiton 3.15 und Satz 3.28)
Das sind genau die ersten 3 Seiten, die mir beim googeln von "Skript Analysis 1" angezeigt werden, und sie verwenden allesamt genau die Konvention, die ich oben benutzt habe.
Der Fakt das ich das einem Mathematikprofessor erklären muss ist Beweis dafür, dass du einfach nur stur sein willst, anstatt das offensichtliche einzusehen. Ich werde auf weiter Kommentare zu diesem Thema in dem Sinne nicht mehr eingehen.
  ─   fix 27.11.2022 um 19:47

Ich hab die ersten beiden Seiten google-Treffer zu "Konvergenzradius" gecheckt und das gerade nicht gefunden.
Ich gebe Dir aber recht, dass diese Konvention (leider) öfter auftritt als ich dachte. Du musst mir gar nichts erklären, aber informiere Dich mal was zitieren heißt. "bis auf Formatierung": Das ist eben nicht Zitieren und der Unterschied ist eben, dass der KRadius so gesetzt wird, aber nicht der (vorher berechnete) Grenzwert.
Und ich halte es für ungeschickt, jemandem, der Nullfolgen über den Grenzwert $\frac1\infty$ ausrechnet, dieses Vorgehen auch noch zu bestätigen.
In Deiner 3. Quelle finde ich Deine Konvention übrigens nicht. Und in keiner Deiner drei Quellen Deine Def. von Potenzreihe.
  ─   mikn 27.11.2022 um 20:09

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