Explizite Formel bestimmen

Aufrufe: 60     Aktiv: 10.12.2021 um 15:42

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Ich hab jetzt schon für die ersten paar n-Werte die Anzahl der Varianten ermittelt:
n0 = 0 ; n1=1 ; n2=2 ; n3=5 ; n4=14
und habe mir auf YouTube ein paar Videos angeguckt wie man am besten die explizite Formel erkennt und aufstellt. Mir scheint es, als wäre ich damit auf dem Holzweg und es müsste einen anderen Ansatz geben.
Wäre nett, wenn mir hier jemand einen Tipp geben könnte.
Vielen Dank vorab.

MfG Conner
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Hallo,

ich denke mal, dass man hier mittel kombinatorischer Überlegungen zur Lösung kommen könnte. Nun ist das nicht unbedingt mein Paradefach, aber ich gebe dir mal meine Gedanken mit, vielleicht helfen sie dir ja:

Egal wie groß dein $n$ ist, die kleinste Zahl (also $1$) und die größte Zahl (also $2n$), können immer nur auf dem ersten bzw. letzten Platz sein. Das liegt ganz einfach daran, dass jede folgende Zahl, egal ob in einer Zeile oder Spalte, größer sein soll als der Vorgänger.
Die Zahl $2$ und $2n-1$ haben immer nur 2 Möglichkeiten. Die $2$ kann immer nur entweder rechts von der $1$ oder unterhalb der $1$ sein. Hingegen kann $2n-1$ immer nur links von $2n$ oder oberhalb von $2n$ sein.
Die Zahlen $3$ und $2n-2$ haben immer 3 Möglichkeiten ... (weiter habe ich es nicht überprüft, aber vielleicht ist das eine Regelmäßigkeit).

Prinzipiell kann man noch sagen, dass wenn eine Zahl $k$ auf dem Matrixeintrag $(1,i)$ liegt, dann müssen alle Zahlen mit $(h, j)$ und $j \geq i $ bzw für den Eintrag $(2,i)$ alle Zahlen mit $(2,j)$ und $ j > i$ größer sein als $k$

Ich habe auch überlegt, ob eine Zahl die auf dem Platz $(u,v)$ liegt nicht nach rechts wieder so ein Matrixrechteck bildet mit den selben Grundregeln. Vielleicht kann man so rekursiv eine Formel finden.

Ich hoffe das hilft dir irgendwie weiter oder gibt jemand anderem eine Idee weiter zu machen.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 10.12.2021 um 15:42
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