Konvergenz Potenzreihe

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Ich möchte wissen, für welche \( x\in\mathbb{R} \) die Potenzreihe \( \sum_{n=0}^\infty n^2\cdot 9^n\cdot(z-2)^{2n} \) konvergiert. Ich habe substituiert: \( y:=(z-2)^2 \), damit ergibt sich \( \sum_{n=0}^\infty n^2\cdot 9^n\cdot y^n\). Damit wiederum ergibt sich für den Konvergenzradius:
$$ \delta= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{9^n}=9\Longrightarrow r= \frac{1}{\delta}=\frac{1}{9} $$
Damit konvergiert die neue Reihe für \( |y|<\frac{1}{9} \). Dann substituiere ich zurück und erhalte Konvergenz für \( |(z-2)^2|<\frac{1}{9} \Leftrightarrow |(z^2-4z+4)|<\frac{1}{9}\Leftrightarrow |z^2-4z|<-\frac{35}{9}\). Und genau hier habe ich ein ganz ungutes Gefühl, dass ich was falsch gemacht habe. Kann mir da jemand weiterhelfen? Ist es soweit richtig? Wenn ja, wie mach ich weiter und wenn nein, was ist mein Fehler?
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Hallo,

es ist 

$$ |(z-2)^2| = |z-2|^2 < \frac 1 9 \Leftrightarrow |z-2| < \frac 1 3 $$

Ganz wichtig, im Allgemeinen ist 

$$ |z^2 -4z + 4| =|z^2 - 4z | + 4 $$

falsch! Setze doch mal testweise \( z=1 \) ein.

Prinzipiell ist der Radius \( \frac 1 3 \) aber richtig. Es gibt hier mehrere Wege vorzugehen. Du kannst wie du es getan hast substituieren, wir können die Reihe auch aufteilen durch

$$ \sum\limits_{n=0}^\infty n^2 \cdot 9^n \cdot (z-2)^{2n} = 0 + 9 \cdot (z-2)^2 + 144 (z-2)^4 = 0 \cdot (z-2)^0 + 0 \cdot (z-2)^1 + 9 \cdot (z-2)^2 + 0 \cdot (z-2)^3 + 144 \cdot (z-2)^4 + 0 \cdot (z-2)^5 + \ldots $$

Wir können unsere Potenzreihe also umformen zu

$$ = \sum\limits_{n=0}^\infty b_n $$

mit

$$ b_n = \left\{ \begin{matrix} (\frac n2 )^2 \cdot 9^{\frac n2 }, & 2 \mid n \\ 0, & 2 \nmid n \end{matrix} \right. $$

Dann kannst du die Formel für Cauchy Hadamard nutzen. Bedenke hier aber immer, dass Null bereits ein Häufungspunkt von $b_n$ ist. 

Und du kannst aber auch Bezug zur geometrischen Reihe nehmen und dir überlegen, wann diese Reihe konvergiert. 

$$ \sum\limits q^n $$

konvergiert für \( \lim\limits_{n\to \infty} |q|< 1 \). 

Jedes mal wirst du aber auf den Radius \( \frac 13  \) kommen :)

Grüße Christian
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Genial, ich hab mal wieder viel von dir gelernt. Wieso aber ist \( |z^2-4z+4|=|z^2-4z|+4 im Allgemeinen falsch?
Wie würde man so einen Betrag korrekt umformen? Ist die einzige Umrechnung, die sicher ist, die der Dreiecksungleichung?
  ─   akimboslice vor 4 Tagen, 12 Stunden

Das freut mich sehr :)
Setze doch mal \( z=1 \) ein.
$$ | 1^2 - 4 + 4| = | 1| = 1 $$
und
$$ | 1^2 - 4| + 4 = | -3| + 4 = 3 + 4 = 7 $$
Es gibt die sogennante Dreiecksungleichung
$$ | a + b |\leq |a | + | b| $$
Die Gleichheit besteht nur, wenn \( a \) und \( b \) das selbe Vorzeichen haben (wenn \(a,b \in \mathbb R\)).

Betrachten wir das ganze mal im mehrdimensionalen. Dann kannst du dir die Ungleichung folgendermaßen erklären:
$|a|$ bzw $|b|$ beschreibt die Länge von der Strecke (dem Vektor) $a$ bzw $b$.
$|a+b|$ beschreibt die Länge der Strecke vom Anfangspunkt der Strecke $a$ bis zum Endpunkt der Strecke $b$.
Das kann man sich mit einem Dreieck visualisieren (deshalb der Name). Die beiden kurzen Strecken sind $a$ oder $b$. die längste Strecke ist dann $a+b$. Solange $a$ und $b$ nicht in die selbe Richtung zeigen, ist die Summe der kürzeren Seiten immer länger. Wenn beide Seiten in die selbe Richtung zeigen, ist die längste Seite genau gleich der Summe der beiden einzel Seiten (salopp gesagt, denn dann haben wir eigentlich gar kein Dreieck mehr)

In Worten kann man sich das so vorstellen: Der direkte Weg zwischen zwei Punkten ist immer kürzer als wenn man einen Umweg läuft.

Prinzipiell, wenn du mit einem Betrag arbeitest, kannst du immer die Definition des Betrags nutzen.
$$ |x| := \left\{ \begin{matrix} x, & x \geq 0 \\ -x , & x < 0 \end{matrix} \right. $$
Du machst dann eine Fallunterscheidung. Betrachtest das was in dem Betrag steht. Wenn es nichtnegativ ist, dann kannst du den Betrag einfach weglassen. Wenn es negativ ist, dann musst du alles in Klammern packen und ein Minus davor schreiben.
Wenn du dann deine Gleichung/Ungleichung oder was auch immer löst, musst du dann die Lösungsmenge mit deiner Fallunterscheidung abgleichen um so die tatsächliche Lösung zu erhalten.
Kannst gerne mal testweise deine Ungleichung versuchen zu lösen und ich gucke drüber
$$ | z^2 -4z+4| < \frac 1 9 $$
wann ist das innere negativ und wann nichtnegativ?
  ─   christian_strack vor 3 Tagen, 16 Stunden

Zum ersten Mal hab ich die Dreiecksungleichung auch geometrisch verstanden. Eigentlich total logisch. Danke dafür.
Zur Aufgabe: ich würde sagen, dass es nie negativ sein kann. Für große und negative z sowieso nicht, aber auch für z=1, z=2 etc. kommt immer etwas nichtnegatives raus. Das heißt also, ich kann die Betragsstriche weglassen.
Zur anfangs gestellten Aufgabe. Du kommst ja auf \( |z-2| < \frac{1}{3} \). Damit bin ich aber noch nicht fertig, oder? Muss nicht z alleine stehen und was ist dann mit dem Entwicklungspunkt? Sagen wir, ich wäre fertig, muss ich dann die Ränder z=5/3 und z = 7/3 einsetzen und schauen, ob die Potenzreihe konvergiert? Mich verwirrt, dass nach der Rücksubstitution das z nicht alleine steht.
  ─   akimboslice vor 1 Tag, 17 Stunden

Das freut mich zu hören :)
Ja man ist doch oft überrascht aber eigentlich steckt ne Menge Logik hinter der Mathematik :D

Ja genau, das können wir auch rechnerisch prüfen
$$ z^2 - 4z + 4 \geq 0$$
das können wir mit der 2ten binomischen Formel sofort umformen
$$ (z-2)^2 \geq 0 $$
Wir haben hier einen Ausdruck der quadriert wird und dieser wird niemals negativ für reelle Zahlen.

Damit können wir die Betragsstriche weglassen und können weiter umformen
$$ z^2 - 4z + 4 < \frac 1 9 \Rightarrow z^2 - 4x + \frac {35} 9 < 0 $$
Mit der pq-Formel erhalten wir
$$ z_{1/2} = 2 \pm \frac 1 3 \Rightarrow z_{1/2} - 2 = \pm \frac 1 3 \Rightarrow |z_{1/2} - 2| = \frac 1 3 $$
Jetzt müssten wir uns noch angucken, in welchen Intervallen $z^2 -4z + 4$ größer oder kleiner als $\frac 1 9$ ist. Dann wissen wir, dass $ z \in ( z_2,z_1) $ und daraus folgt
$$ |z-2| < \frac 13 $$

Doch du bist damit fertig, denn deine Entwicklungsstelle ist ja $z_0=2$. Das siehst du an deiner Potenzreihe. Dort hast du ja auch den Faktor $z-2$ in einer Potenz von $n$. Und um diesen Entwicklungspunkt haben wir unseren Konvergenzbereich. $|z-2| < \frac 13 $ ist somit die Endlösung.

Das einzige was man noch händisch prüfen müssten sind die Ränder des Konvergenzbereichs.
  ─   christian_strack vor 1 Tag, 17 Stunden

Okay, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, obwohl ich Potenzreihen sonst eigentlich gut kann. Die Substitution verwirrt mich. Ich hab also in Latex geschrieben:
$$|y|<\frac{1}{9} \Leftrightarrow |z-2|<\frac{1}{3}$$
Was sind dann die Ränder? Rechne ich dann: \( 2- \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \) und dann
$$\sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n} $$
und dann am anderen Rand \( 2+\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, 2 - \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(\frac{1}{3}\right)^{2n} \) oder habe ich da einen Denkfehler?
  ─   akimboslice vor 1 Tag, 16 Stunden

Okay, habe mir das nochmal überlegt und bin mir sicher, dass es so stimmt, wie ich es hingeschrieben hab. Die Frage ist, wie ich zB. \( \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n}\) umformen kann, weil alle haben unterschiedliche Exponenten und unterschiedliche Basen. Dass es gehen muss, ist irgendwie offensichtlich.   ─   akimboslice vor 1 Tag, 16 Stunden

Ich spamme das hier mal zu, weil es grad Spaß macht und ich am Probieren bin . Ich hab ne Idee:
$$ \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty n^29^n \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^\infty n^2(-3)^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^\infty n^21^n = \sum_{n=0}^\infty n^2 $$
Das ist ja mehr als divergent, was mich sehr misstrauisch macht.
  ─   akimboslice vor 1 Tag, 16 Stunden

:D so einen Spam sehe ich immer gerne. Die Divergenz ist absolut richtig und die Umformung sehr gut. Allerdings stimmen die Grenzen nicht.
Wir haben ja
$$ | z- 2 | < \frac 1 3 $$
Den Betrag kannst du dir wie eine Länge vorstellen. Dieser Ausdruck bedeutet: alle Zahlen die von der $2$ den Abstand $\frac 1 3 $ haben. Man kann auch schreiben
$$ - \frac 1 3 < z-2 < \frac 1 3 \Rightarrow - \frac 1 3 + 2 < z < \frac 1 3 + 2 \Rightarrow \frac 5 3 < z < \frac 7 3 \Rightarrow z \in \left( \frac 5 3 , \frac 7 3 \right) $$
Also war deine erste Überlegung richtig.

Aber die Bestimmung Konvergenz bzw Divergenz verläuft analog. Erhalten wir also Konvergenz oder Divergenz an den Rändern?
  ─   christian_strack vor 1 Tag, 15 Stunden

Dann war es doch gar nicht falsch, oder? Das habe ich nämlich so auf meinem Block stehen (natürlich nicht so schön umgeformt). Wenn ich \( z=\frac{5}{3} \quad \text{und} \quad z=\frac{7}{3}\) für z einseite, ergibt sich doch genau das, was ich geschrieben habe, oder? Schließlich muss ich von denen ja noch 2 subtrahien und somit ergeben sich \( \frac{1}{3}\) und \( -\frac{1}{3} \), womit ich ja gerechnet hatte und einzig \( n^2 \) neben dem Summenzeichen übrig bleibt.   ─   akimboslice vor 1 Tag, 15 Stunden

Achja natürlich. Sorry da hatte ich einen Denkfehler. Hast alles richtig gemacht :)   ─   christian_strack vor 20 Stunden, 49 Minuten

Also bleibt einzig \( n^2 \) übrig neben dem Summenzeichen, wie gestern gerechnet? Normal kommen doch bei den Prüfungen an den Rändern entweder knappe Divergenz oder knappe Konvergenz raus?   ─   akimboslice vor 20 Stunden, 31 Minuten

Ja genau.
Was meinst du mit knapper Konvergenz/Divergenz?
Das ist auf jeden Fall richtig gerechnet :)
  ─   christian_strack vor 20 Stunden, 19 Minuten

Alles klar, dann vielen Dank für die geduldige und weitreichende Hilfe.
Ich meinte damit, dass es "knappe" Reihen sind, also zB die (alternierende) harmonische Reihe.
  ─   akimboslice vor 18 Stunden, 40 Minuten

Sehr gerne :)
Knappe Reihe habe ich noch nie gehört. Aber es muss bei den Rändern keine spezielle Reihe dran kommen. Da kann alles passieren :p
  ─   christian_strack vor 18 Stunden, 5 Minuten

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