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Hallo,
es ist
$$ |(z-2)^2| = |z-2|^2 < \frac 1 9 \Leftrightarrow |z-2| < \frac 1 3 $$
Ganz wichtig, im Allgemeinen ist
$$ |z^2 -4z + 4| =|z^2 - 4z | + 4 $$
falsch! Setze doch mal testweise \( z=1 \) ein.
Prinzipiell ist der Radius \( \frac 1 3 \) aber richtig. Es gibt hier mehrere Wege vorzugehen. Du kannst wie du es getan hast substituieren, wir können die Reihe auch aufteilen durch
$$ \sum\limits_{n=0}^\infty n^2 \cdot 9^n \cdot (z-2)^{2n} = 0 + 9 \cdot (z-2)^2 + 144 (z-2)^4 = 0 \cdot (z-2)^0 + 0 \cdot (z-2)^1 + 9 \cdot (z-2)^2 + 0 \cdot (z-2)^3 + 144 \cdot (z-2)^4 + 0 \cdot (z-2)^5 + \ldots $$
Wir können unsere Potenzreihe also umformen zu
$$ = \sum\limits_{n=0}^\infty b_n $$
mit
$$ b_n = \left\{ \begin{matrix} (\frac n2 )^2 \cdot 9^{\frac n2 }, & 2 \mid n \\ 0, & 2 \nmid n \end{matrix} \right. $$
Dann kannst du die Formel für Cauchy Hadamard nutzen. Bedenke hier aber immer, dass Null bereits ein Häufungspunkt von $b_n$ ist.
Und du kannst aber auch Bezug zur geometrischen Reihe nehmen und dir überlegen, wann diese Reihe konvergiert.
$$ \sum\limits q^n $$
konvergiert für \( \lim\limits_{n\to \infty} |q|< 1 \).
Jedes mal wirst du aber auf den Radius \( \frac 13 \) kommen :)
Grüße Christian
es ist
$$ |(z-2)^2| = |z-2|^2 < \frac 1 9 \Leftrightarrow |z-2| < \frac 1 3 $$
Ganz wichtig, im Allgemeinen ist
$$ |z^2 -4z + 4| =|z^2 - 4z | + 4 $$
falsch! Setze doch mal testweise \( z=1 \) ein.
Prinzipiell ist der Radius \( \frac 1 3 \) aber richtig. Es gibt hier mehrere Wege vorzugehen. Du kannst wie du es getan hast substituieren, wir können die Reihe auch aufteilen durch
$$ \sum\limits_{n=0}^\infty n^2 \cdot 9^n \cdot (z-2)^{2n} = 0 + 9 \cdot (z-2)^2 + 144 (z-2)^4 = 0 \cdot (z-2)^0 + 0 \cdot (z-2)^1 + 9 \cdot (z-2)^2 + 0 \cdot (z-2)^3 + 144 \cdot (z-2)^4 + 0 \cdot (z-2)^5 + \ldots $$
Wir können unsere Potenzreihe also umformen zu
$$ = \sum\limits_{n=0}^\infty b_n $$
mit
$$ b_n = \left\{ \begin{matrix} (\frac n2 )^2 \cdot 9^{\frac n2 }, & 2 \mid n \\ 0, & 2 \nmid n \end{matrix} \right. $$
Dann kannst du die Formel für Cauchy Hadamard nutzen. Bedenke hier aber immer, dass Null bereits ein Häufungspunkt von $b_n$ ist.
Und du kannst aber auch Bezug zur geometrischen Reihe nehmen und dir überlegen, wann diese Reihe konvergiert.
$$ \sum\limits q^n $$
konvergiert für \( \lim\limits_{n\to \infty} |q|< 1 \).
Jedes mal wirst du aber auf den Radius \( \frac 13 \) kommen :)
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Das freut mich sehr :)
Setze doch mal \( z=1 \) ein.
$$ | 1^2 - 4 + 4| = | 1| = 1 $$
und
$$ | 1^2 - 4| + 4 = | -3| + 4 = 3 + 4 = 7 $$
Es gibt die sogennante Dreiecksungleichung
$$ | a + b |\leq |a | + | b| $$
Die Gleichheit besteht nur, wenn \( a \) und \( b \) das selbe Vorzeichen haben (wenn \(a,b \in \mathbb R\)).
Betrachten wir das ganze mal im mehrdimensionalen. Dann kannst du dir die Ungleichung folgendermaßen erklären:
$|a|$ bzw $|b|$ beschreibt die Länge von der Strecke (dem Vektor) $a$ bzw $b$.
$|a+b|$ beschreibt die Länge der Strecke vom Anfangspunkt der Strecke $a$ bis zum Endpunkt der Strecke $b$.
Das kann man sich mit einem Dreieck visualisieren (deshalb der Name). Die beiden kurzen Strecken sind $a$ oder $b$. die längste Strecke ist dann $a+b$. Solange $a$ und $b$ nicht in die selbe Richtung zeigen, ist die Summe der kürzeren Seiten immer länger. Wenn beide Seiten in die selbe Richtung zeigen, ist die längste Seite genau gleich der Summe der beiden einzel Seiten (salopp gesagt, denn dann haben wir eigentlich gar kein Dreieck mehr)
In Worten kann man sich das so vorstellen: Der direkte Weg zwischen zwei Punkten ist immer kürzer als wenn man einen Umweg läuft.
Prinzipiell, wenn du mit einem Betrag arbeitest, kannst du immer die Definition des Betrags nutzen.
$$ |x| := \left\{ \begin{matrix} x, & x \geq 0 \\ -x , & x < 0 \end{matrix} \right. $$
Du machst dann eine Fallunterscheidung. Betrachtest das was in dem Betrag steht. Wenn es nichtnegativ ist, dann kannst du den Betrag einfach weglassen. Wenn es negativ ist, dann musst du alles in Klammern packen und ein Minus davor schreiben.
Wenn du dann deine Gleichung/Ungleichung oder was auch immer löst, musst du dann die Lösungsmenge mit deiner Fallunterscheidung abgleichen um so die tatsächliche Lösung zu erhalten.
Kannst gerne mal testweise deine Ungleichung versuchen zu lösen und ich gucke drüber
$$ | z^2 -4z+4| < \frac 1 9 $$
wann ist das innere negativ und wann nichtnegativ? ─ christian_strack 13.06.2021 um 14:59
Setze doch mal \( z=1 \) ein.
$$ | 1^2 - 4 + 4| = | 1| = 1 $$
und
$$ | 1^2 - 4| + 4 = | -3| + 4 = 3 + 4 = 7 $$
Es gibt die sogennante Dreiecksungleichung
$$ | a + b |\leq |a | + | b| $$
Die Gleichheit besteht nur, wenn \( a \) und \( b \) das selbe Vorzeichen haben (wenn \(a,b \in \mathbb R\)).
Betrachten wir das ganze mal im mehrdimensionalen. Dann kannst du dir die Ungleichung folgendermaßen erklären:
$|a|$ bzw $|b|$ beschreibt die Länge von der Strecke (dem Vektor) $a$ bzw $b$.
$|a+b|$ beschreibt die Länge der Strecke vom Anfangspunkt der Strecke $a$ bis zum Endpunkt der Strecke $b$.
Das kann man sich mit einem Dreieck visualisieren (deshalb der Name). Die beiden kurzen Strecken sind $a$ oder $b$. die längste Strecke ist dann $a+b$. Solange $a$ und $b$ nicht in die selbe Richtung zeigen, ist die Summe der kürzeren Seiten immer länger. Wenn beide Seiten in die selbe Richtung zeigen, ist die längste Seite genau gleich der Summe der beiden einzel Seiten (salopp gesagt, denn dann haben wir eigentlich gar kein Dreieck mehr)
In Worten kann man sich das so vorstellen: Der direkte Weg zwischen zwei Punkten ist immer kürzer als wenn man einen Umweg läuft.
Prinzipiell, wenn du mit einem Betrag arbeitest, kannst du immer die Definition des Betrags nutzen.
$$ |x| := \left\{ \begin{matrix} x, & x \geq 0 \\ -x , & x < 0 \end{matrix} \right. $$
Du machst dann eine Fallunterscheidung. Betrachtest das was in dem Betrag steht. Wenn es nichtnegativ ist, dann kannst du den Betrag einfach weglassen. Wenn es negativ ist, dann musst du alles in Klammern packen und ein Minus davor schreiben.
Wenn du dann deine Gleichung/Ungleichung oder was auch immer löst, musst du dann die Lösungsmenge mit deiner Fallunterscheidung abgleichen um so die tatsächliche Lösung zu erhalten.
Kannst gerne mal testweise deine Ungleichung versuchen zu lösen und ich gucke drüber
$$ | z^2 -4z+4| < \frac 1 9 $$
wann ist das innere negativ und wann nichtnegativ? ─ christian_strack 13.06.2021 um 14:59
Zum ersten Mal hab ich die Dreiecksungleichung auch geometrisch verstanden. Eigentlich total logisch. Danke dafür.
Zur Aufgabe: ich würde sagen, dass es nie negativ sein kann. Für große und negative z sowieso nicht, aber auch für z=1, z=2 etc. kommt immer etwas nichtnegatives raus. Das heißt also, ich kann die Betragsstriche weglassen.
Zur anfangs gestellten Aufgabe. Du kommst ja auf \( |z-2| < \frac{1}{3} \). Damit bin ich aber noch nicht fertig, oder? Muss nicht z alleine stehen und was ist dann mit dem Entwicklungspunkt? Sagen wir, ich wäre fertig, muss ich dann die Ränder z=5/3 und z = 7/3 einsetzen und schauen, ob die Potenzreihe konvergiert? Mich verwirrt, dass nach der Rücksubstitution das z nicht alleine steht. ─ akimboslice 15.06.2021 um 14:02
Zur Aufgabe: ich würde sagen, dass es nie negativ sein kann. Für große und negative z sowieso nicht, aber auch für z=1, z=2 etc. kommt immer etwas nichtnegatives raus. Das heißt also, ich kann die Betragsstriche weglassen.
Zur anfangs gestellten Aufgabe. Du kommst ja auf \( |z-2| < \frac{1}{3} \). Damit bin ich aber noch nicht fertig, oder? Muss nicht z alleine stehen und was ist dann mit dem Entwicklungspunkt? Sagen wir, ich wäre fertig, muss ich dann die Ränder z=5/3 und z = 7/3 einsetzen und schauen, ob die Potenzreihe konvergiert? Mich verwirrt, dass nach der Rücksubstitution das z nicht alleine steht. ─ akimboslice 15.06.2021 um 14:02
Das freut mich zu hören :)
Ja man ist doch oft überrascht aber eigentlich steckt ne Menge Logik hinter der Mathematik :D
Ja genau, das können wir auch rechnerisch prüfen
$$ z^2 - 4z + 4 \geq 0$$
das können wir mit der 2ten binomischen Formel sofort umformen
$$ (z-2)^2 \geq 0 $$
Wir haben hier einen Ausdruck der quadriert wird und dieser wird niemals negativ für reelle Zahlen.
Damit können wir die Betragsstriche weglassen und können weiter umformen
$$ z^2 - 4z + 4 < \frac 1 9 \Rightarrow z^2 - 4x + \frac {35} 9 < 0 $$
Mit der pq-Formel erhalten wir
$$ z_{1/2} = 2 \pm \frac 1 3 \Rightarrow z_{1/2} - 2 = \pm \frac 1 3 \Rightarrow |z_{1/2} - 2| = \frac 1 3 $$
Jetzt müssten wir uns noch angucken, in welchen Intervallen $z^2 -4z + 4$ größer oder kleiner als $\frac 1 9$ ist. Dann wissen wir, dass $ z \in ( z_2,z_1) $ und daraus folgt
$$ |z-2| < \frac 13 $$
Doch du bist damit fertig, denn deine Entwicklungsstelle ist ja $z_0=2$. Das siehst du an deiner Potenzreihe. Dort hast du ja auch den Faktor $z-2$ in einer Potenz von $n$. Und um diesen Entwicklungspunkt haben wir unseren Konvergenzbereich. $|z-2| < \frac 13 $ ist somit die Endlösung.
Das einzige was man noch händisch prüfen müssten sind die Ränder des Konvergenzbereichs. ─ christian_strack 15.06.2021 um 14:21
Ja man ist doch oft überrascht aber eigentlich steckt ne Menge Logik hinter der Mathematik :D
Ja genau, das können wir auch rechnerisch prüfen
$$ z^2 - 4z + 4 \geq 0$$
das können wir mit der 2ten binomischen Formel sofort umformen
$$ (z-2)^2 \geq 0 $$
Wir haben hier einen Ausdruck der quadriert wird und dieser wird niemals negativ für reelle Zahlen.
Damit können wir die Betragsstriche weglassen und können weiter umformen
$$ z^2 - 4z + 4 < \frac 1 9 \Rightarrow z^2 - 4x + \frac {35} 9 < 0 $$
Mit der pq-Formel erhalten wir
$$ z_{1/2} = 2 \pm \frac 1 3 \Rightarrow z_{1/2} - 2 = \pm \frac 1 3 \Rightarrow |z_{1/2} - 2| = \frac 1 3 $$
Jetzt müssten wir uns noch angucken, in welchen Intervallen $z^2 -4z + 4$ größer oder kleiner als $\frac 1 9$ ist. Dann wissen wir, dass $ z \in ( z_2,z_1) $ und daraus folgt
$$ |z-2| < \frac 13 $$
Doch du bist damit fertig, denn deine Entwicklungsstelle ist ja $z_0=2$. Das siehst du an deiner Potenzreihe. Dort hast du ja auch den Faktor $z-2$ in einer Potenz von $n$. Und um diesen Entwicklungspunkt haben wir unseren Konvergenzbereich. $|z-2| < \frac 13 $ ist somit die Endlösung.
Das einzige was man noch händisch prüfen müssten sind die Ränder des Konvergenzbereichs. ─ christian_strack 15.06.2021 um 14:21
Okay, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, obwohl ich Potenzreihen sonst eigentlich gut kann. Die Substitution verwirrt mich. Ich hab also in Latex geschrieben:
$$|y|<\frac{1}{9} \Leftrightarrow |z-2|<\frac{1}{3}$$
Was sind dann die Ränder? Rechne ich dann: \( 2- \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \) und dann
$$\sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n} $$
und dann am anderen Rand \( 2+\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, 2 - \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(\frac{1}{3}\right)^{2n} \) oder habe ich da einen Denkfehler? ─ akimboslice 15.06.2021 um 15:15
$$|y|<\frac{1}{9} \Leftrightarrow |z-2|<\frac{1}{3}$$
Was sind dann die Ränder? Rechne ich dann: \( 2- \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \) und dann
$$\sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n} $$
und dann am anderen Rand \( 2+\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, 2 - \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \Longrightarrow \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(\frac{1}{3}\right)^{2n} \) oder habe ich da einen Denkfehler? ─ akimboslice 15.06.2021 um 15:15
Okay, habe mir das nochmal überlegt und bin mir sicher, dass es so stimmt, wie ich es hingeschrieben hab. Die Frage ist, wie ich zB. \( \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n}\) umformen kann, weil alle haben unterschiedliche Exponenten und unterschiedliche Basen. Dass es gehen muss, ist irgendwie offensichtlich.
─
akimboslice
15.06.2021 um 15:32
Ich spamme das hier mal zu, weil es grad Spaß macht und ich am Probieren bin . Ich hab ne Idee:
$$ \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty n^29^n \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^\infty n^2(-3)^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^\infty n^21^n = \sum_{n=0}^\infty n^2 $$
Das ist ja mehr als divergent, was mich sehr misstrauisch macht. ─ akimboslice 15.06.2021 um 15:39
$$ \sum_{n=0}^\infty n^29^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty n^29^n \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^\infty n^2(-3)^n\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} = \sum_{n=0}^\infty n^21^n = \sum_{n=0}^\infty n^2 $$
Das ist ja mehr als divergent, was mich sehr misstrauisch macht. ─ akimboslice 15.06.2021 um 15:39
:D so einen Spam sehe ich immer gerne. Die Divergenz ist absolut richtig und die Umformung sehr gut. Allerdings stimmen die Grenzen nicht.
Wir haben ja
$$ | z- 2 | < \frac 1 3 $$
Den Betrag kannst du dir wie eine Länge vorstellen. Dieser Ausdruck bedeutet: alle Zahlen die von der $2$ den Abstand $\frac 1 3 $ haben. Man kann auch schreiben
$$ - \frac 1 3 < z-2 < \frac 1 3 \Rightarrow - \frac 1 3 + 2 < z < \frac 1 3 + 2 \Rightarrow \frac 5 3 < z < \frac 7 3 \Rightarrow z \in \left( \frac 5 3 , \frac 7 3 \right) $$
Also war deine erste Überlegung richtig.
Aber die Bestimmung Konvergenz bzw Divergenz verläuft analog. Erhalten wir also Konvergenz oder Divergenz an den Rändern? ─ christian_strack 15.06.2021 um 16:38
Wir haben ja
$$ | z- 2 | < \frac 1 3 $$
Den Betrag kannst du dir wie eine Länge vorstellen. Dieser Ausdruck bedeutet: alle Zahlen die von der $2$ den Abstand $\frac 1 3 $ haben. Man kann auch schreiben
$$ - \frac 1 3 < z-2 < \frac 1 3 \Rightarrow - \frac 1 3 + 2 < z < \frac 1 3 + 2 \Rightarrow \frac 5 3 < z < \frac 7 3 \Rightarrow z \in \left( \frac 5 3 , \frac 7 3 \right) $$
Also war deine erste Überlegung richtig.
Aber die Bestimmung Konvergenz bzw Divergenz verläuft analog. Erhalten wir also Konvergenz oder Divergenz an den Rändern? ─ christian_strack 15.06.2021 um 16:38
Dann war es doch gar nicht falsch, oder? Das habe ich nämlich so auf meinem Block stehen (natürlich nicht so schön umgeformt). Wenn ich \( z=\frac{5}{3} \quad \text{und} \quad z=\frac{7}{3}\) für z einseite, ergibt sich doch genau das, was ich geschrieben habe, oder? Schließlich muss ich von denen ja noch 2 subtrahien und somit ergeben sich \( \frac{1}{3}\) und \( -\frac{1}{3} \), womit ich ja gerechnet hatte und einzig \( n^2 \) neben dem Summenzeichen übrig bleibt.
─
akimboslice
15.06.2021 um 16:48
Achja natürlich. Sorry da hatte ich einen Denkfehler. Hast alles richtig gemacht :)
─
christian_strack
16.06.2021 um 11:01
Also bleibt einzig \( n^2 \) übrig neben dem Summenzeichen, wie gestern gerechnet? Normal kommen doch bei den Prüfungen an den Rändern entweder knappe Divergenz oder knappe Konvergenz raus?
─
akimboslice
16.06.2021 um 11:19
Ja genau.
Was meinst du mit knapper Konvergenz/Divergenz?
Das ist auf jeden Fall richtig gerechnet :) ─ christian_strack 16.06.2021 um 11:31
Was meinst du mit knapper Konvergenz/Divergenz?
Das ist auf jeden Fall richtig gerechnet :) ─ christian_strack 16.06.2021 um 11:31
Alles klar, dann vielen Dank für die geduldige und weitreichende Hilfe.
Ich meinte damit, dass es "knappe" Reihen sind, also zB die (alternierende) harmonische Reihe. ─ akimboslice 16.06.2021 um 13:10
Ich meinte damit, dass es "knappe" Reihen sind, also zB die (alternierende) harmonische Reihe. ─ akimboslice 16.06.2021 um 13:10
Sehr gerne :)
Knappe Reihe habe ich noch nie gehört. Aber es muss bei den Rändern keine spezielle Reihe dran kommen. Da kann alles passieren :p ─ christian_strack 16.06.2021 um 13:45
Knappe Reihe habe ich noch nie gehört. Aber es muss bei den Rändern keine spezielle Reihe dran kommen. Da kann alles passieren :p ─ christian_strack 16.06.2021 um 13:45
Wie würde man so einen Betrag korrekt umformen? Ist die einzige Umrechnung, die sicher ist, die der Dreiecksungleichung? ─ akimboslice 12.06.2021 um 18:53