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Hallo,
dein Beweis ist sehr gut. Ich würde noch einen Antwortsatz schreiben, warum die Terme in denKlammern ($a_ns^{n-1}+ \ldots + a_1 t^{n-1}$ und $a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0 t^{n}$) ganzzahlig sind.
Für den zweiten Beweis würde ich dir einen Widerspruchsbeweis ans Herz legen. Ich denke das ist hier am einfachsten. Geh doch mal davon aus, dass $\sqrt p$ rational ist. Was gilt dann?
Grüße Christian
dein Beweis ist sehr gut. Ich würde noch einen Antwortsatz schreiben, warum die Terme in denKlammern ($a_ns^{n-1}+ \ldots + a_1 t^{n-1}$ und $a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0 t^{n}$) ganzzahlig sind.
Für den zweiten Beweis würde ich dir einen Widerspruchsbeweis ans Herz legen. Ich denke das ist hier am einfachsten. Geh doch mal davon aus, dass $\sqrt p$ rational ist. Was gilt dann?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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ja genau. Jetzt betrachten wir mal
$$ t^2 \cdot p = s^2 $$
Hier steckt unser Widerspruch. Wieso kann das nicht gleich sein. Bedenke, dass $t$ und $s$ ganze Zahlen sind. Was kann man also mit $t$ und $s$ machen? Das Wort hat auch Prim mit drin. :p ─ christian_strack 25.10.2021 um 14:05
$$ t^2 \cdot p = s^2 $$
Hier steckt unser Widerspruch. Wieso kann das nicht gleich sein. Bedenke, dass $t$ und $s$ ganze Zahlen sind. Was kann man also mit $t$ und $s$ machen? Das Wort hat auch Prim mit drin. :p ─ christian_strack 25.10.2021 um 14:05
Mit welchem Polynom?
Nein s und t müssen keine Vielfache von p sein. Es gibt die sogenannte Primfaktorzerlegung. Schon mal gehört? Kannst du daraus einen Widerspruch herleiten? ─ christian_strack 25.10.2021 um 14:57
Nein s und t müssen keine Vielfache von p sein. Es gibt die sogenannte Primfaktorzerlegung. Schon mal gehört? Kannst du daraus einen Widerspruch herleiten? ─ christian_strack 25.10.2021 um 14:57
Ne die Folgerung haben wir hier auch nicht.
$t$ und $s$ sind ja ganze Zahlen. Das bedeutet wie gesagt, dass wir eine Primfaktorzerlegung durchführen können. Weißt du was das ist? ─ christian_strack 25.10.2021 um 19:45
$t$ und $s$ sind ja ganze Zahlen. Das bedeutet wie gesagt, dass wir eine Primfaktorzerlegung durchführen können. Weißt du was das ist? ─ christian_strack 25.10.2021 um 19:45
Ja genau.
Wie sieht denn die Primfaktorzerlegung einer Primzahl aus (Fangfrage)? ─ christian_strack 25.10.2021 um 21:21
Wie sieht denn die Primfaktorzerlegung einer Primzahl aus (Fangfrage)? ─ christian_strack 25.10.2021 um 21:21
Und sein $ t = \prod_i p_i^{k_i} $ und $ s = \prod_j p_j^{k_j}$ die Primfaktorzerlegungen. Betrachte mal eingesetzt die Potenzen.
─
christian_strack
25.10.2021 um 21:22
ja das geht schon in eine sehr gute Richtung. Wenn wir s und t quadrieren, wie ist dann die Potenz der Primfaktoren? Gucken wir uns mal ein Beispiel an
$$ (2^2\cdot 3 \cdot 5^3)^2 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6 $$
Was sind die Potenzen, also 2,4 und 6 für Zahlen? ─ christian_strack 26.10.2021 um 15:39
$$ (2^2\cdot 3 \cdot 5^3)^2 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6 $$
Was sind die Potenzen, also 2,4 und 6 für Zahlen? ─ christian_strack 26.10.2021 um 15:39
4 und 6 sind keine Primzahlen.
Es ist schwer noch mehr Tipps zu geben. Einen habe ich noch. Man kann die natürlichen Zahlen aufteilen in zwei "Kategorien". Weißt du welche ich meine? ─ christian_strack 26.10.2021 um 15:52
Es ist schwer noch mehr Tipps zu geben. Einen habe ich noch. Man kann die natürlichen Zahlen aufteilen in zwei "Kategorien". Weißt du welche ich meine? ─ christian_strack 26.10.2021 um 15:52
Entschuldigung ich habe Potenzen geschrieben. Ich meinte Exponenten.
─
christian_strack
26.10.2021 um 15:53
Ja genau das ist es doch. Wir erhalten nur(!) gerade Exponenten.
Jetzt betrachten wir mal wieder unsere Gleichung
$$ t^2 \cdot p = s^2 $$
$t^2$ und $s^2$ haben nur gerade Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung. Wieso ist das ein Widerspruch zu der Gleichheit? ─ christian_strack 26.10.2021 um 16:08
Jetzt betrachten wir mal wieder unsere Gleichung
$$ t^2 \cdot p = s^2 $$
$t^2$ und $s^2$ haben nur gerade Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung. Wieso ist das ein Widerspruch zu der Gleichheit? ─ christian_strack 26.10.2021 um 16:08
yes genau so ist es. :)
$k$ kann natürlich auch Null sein, je nachdem ob $p$ in der Primfaktorzerlegung von $t$ vorkommt, aber durch das einzelne $p$ kann der Exponentn von $p$ niemals gerade sein. Deshalb kann die Gleichheit nicht stimmen. ─ christian_strack 26.10.2021 um 16:30
$k$ kann natürlich auch Null sein, je nachdem ob $p$ in der Primfaktorzerlegung von $t$ vorkommt, aber durch das einzelne $p$ kann der Exponentn von $p$ niemals gerade sein. Deshalb kann die Gleichheit nicht stimmen. ─ christian_strack 26.10.2021 um 16:30
Ach du sollst das mit Hilfe eines Polynoms zeigen? Musst du das denn? Tut mir leid das habe ich komplett falsch verstanden.
Nun gut :D konstruieren wir uns doch mal ein Polynom, mit $\sqrt p$ als Nullstelle. Wie könnte so ein Polynom aussehen? ─ christian_strack 26.10.2021 um 16:46
Nun gut :D konstruieren wir uns doch mal ein Polynom, mit $\sqrt p$ als Nullstelle. Wie könnte so ein Polynom aussehen? ─ christian_strack 26.10.2021 um 16:46
Hmm ok sorry. Magst du vielleicht einmal die genaue Aufgabenstellung hier rein schreiben? Muss da selbst einmal kurz drüber nachdenken.
─
christian_strack
26.10.2021 um 17:01
Die Aufgabenstellung nicht. Sonst hätte ich das mit dem Polynom ja (vermutlich) gewusst. Du hast nur geschrieben, dass du zeigen sollst, das $\sqrt p$ irrational ist und das haben wir getan.
Steht in der Aufgabe, nutze den zuletzt bewiesenen Satz oder sowas? ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:08
Steht in der Aufgabe, nutze den zuletzt bewiesenen Satz oder sowas? ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:08
Ok ja gut. Ich habe auch mittlerweile eine Idee ;)
Wir basteln uns nicht so ein allgemeines Polynom. Wir brauchen ein Polynom, dass $\sqrt p$ als Nullstelle hat und ganzzahlige Koeffizienten hat.
Weißt du, wie man bei gegebenen Nullstellen, das passende Polynom findet? ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:17
Wir basteln uns nicht so ein allgemeines Polynom. Wir brauchen ein Polynom, dass $\sqrt p$ als Nullstelle hat und ganzzahlige Koeffizienten hat.
Weißt du, wie man bei gegebenen Nullstellen, das passende Polynom findet? ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:17
Ja sehr gut. Jetzt muss eine Nullstelle mindestens $\sqrt p$ sein.
Als Tipp, wir konstruieren ein quadratisches Polynom.
Womit könnte man $(x-\sqrt p)$ multiplizieren, damit wir ein ganzzahliges quadratisches Polynom bekommen? ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:31
Als Tipp, wir konstruieren ein quadratisches Polynom.
Womit könnte man $(x-\sqrt p)$ multiplizieren, damit wir ein ganzzahliges quadratisches Polynom bekommen? ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:31
Was ergibt denn $(x-\sqrt p)^2$? Ist da ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten?
Die Richtung ist aber schon sehr sehr gut. ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:35
Die Richtung ist aber schon sehr sehr gut. ─ christian_strack 26.10.2021 um 17:35
Yes genau so ist es
$$ (x-\sqrt p)(x+\sqrt p) = x^2 - p $$
Was ist jetzt hier dein $a_n$ und was ist dein $a_0$? Und wo finden wir nun den Widerspruch? ─ christian_strack 26.10.2021 um 18:26
$$ (x-\sqrt p)(x+\sqrt p) = x^2 - p $$
Was ist jetzt hier dein $a_n$ und was ist dein $a_0$? Und wo finden wir nun den Widerspruch? ─ christian_strack 26.10.2021 um 18:26
Yes, Jetzt brauchen wir noch eine kleine Überlegung.
Wenn $\sqrt p$ rational wäre, dann wäre $\sqrt p = \frac s t$.
Nun muss nach Aufgabe 2 $s$ ein Teiler von $a_0$ sein und $t$ ein Teiler von $a_n$.
Wovon muss dann $\frac s t $ ein Teiler sein? ─ christian_strack 26.10.2021 um 19:00
Wenn $\sqrt p$ rational wäre, dann wäre $\sqrt p = \frac s t$.
Nun muss nach Aufgabe 2 $s$ ein Teiler von $a_0$ sein und $t$ ein Teiler von $a_n$.
Wovon muss dann $\frac s t $ ein Teiler sein? ─ christian_strack 26.10.2021 um 19:00
Ne das meinte ich nicht.
Wenn $s|a_0$ und $t|a_n$ dann $\frac s t | \frac {a_0} {a_n}$. Setzen wir alles ein, kommen wir zu der Behauptun... ─ christian_strack 26.10.2021 um 20:03
Wenn $s|a_0$ und $t|a_n$ dann $\frac s t | \frac {a_0} {a_n}$. Setzen wir alles ein, kommen wir zu der Behauptun... ─ christian_strack 26.10.2021 um 20:03
Also $ \frac s t$ ist natürlich ein Teiler von $p$, weil $\frac st = p$ und jede Zahl natürlich Teiler von sich selbst ist. Ich denke du meinst das richtige, hast aber die falschen Buchstaben gewählt :)
─
christian_strack
26.10.2021 um 20:05
Nicht ganz $\sqrt p | \frac {a_0} {a_n}$. Nun ist aber $a_n=1$ und $a_0=p$, also $\sqrt p | p$. Kann das sein?
─
christian_strack
26.10.2021 um 20:32
genau so ist es. Und das ist ein Widerspruch zur Aufgabe 2 und deshalb muss $\sqrt p$ eine irrationale Zahl sein.
Die Aufgaben b) und c) laufen ziemlich analog. :) ─ christian_strack 26.10.2021 um 21:01
Die Aufgaben b) und c) laufen ziemlich analog. :) ─ christian_strack 26.10.2021 um 21:01
Sehr gerne :)
─
christian_strack
26.10.2021 um 21:10
Die Koeffizienten des Polynoms sollen ja ganzzahlig sein. Der goldene Schnitt (also die Nullstellen) natürlich nicht, da wir ja zeigen sollen, das diese irrational ist.
Was ist denn bei dem Polynom $x^2 -x-1$ der Koeffizient $a_n$ und $a_0$?
Es gilt wieder $\Phi | \frac {a_0} {a_n}$, falls $\Phi$ rational ist. Was ergibt denn der Bruch aus den Koeffizienten? Welche Teiler hat diese Zahl?
Stimmt bei der c) fällt mir gerade auch kein Weg ein um ein ganzzahliges Polynom zu konstruieren. Machen wir also einen kleinen Umweg:
Zeige das $\sqrt 2$ irrational ist und zeige das $\sqrt 3$ irrational ist. Genauso wie in der a).
Dann zeigen wir noch, dass die Summe zweier irrationaler Zahlen selbst wieder irrational ist. ─ christian_strack 27.10.2021 um 11:30
Was ist denn bei dem Polynom $x^2 -x-1$ der Koeffizient $a_n$ und $a_0$?
Es gilt wieder $\Phi | \frac {a_0} {a_n}$, falls $\Phi$ rational ist. Was ergibt denn der Bruch aus den Koeffizienten? Welche Teiler hat diese Zahl?
Stimmt bei der c) fällt mir gerade auch kein Weg ein um ein ganzzahliges Polynom zu konstruieren. Machen wir also einen kleinen Umweg:
Zeige das $\sqrt 2$ irrational ist und zeige das $\sqrt 3$ irrational ist. Genauso wie in der a).
Dann zeigen wir noch, dass die Summe zweier irrationaler Zahlen selbst wieder irrational ist. ─ christian_strack 27.10.2021 um 11:30
b) ist richtig. Bei der c) musst du schon das Polynom und den Quotienten $\frac {a_0} {a_n}$ angeben. Nur zu sagen, dass das Verfahren wie bei a) funktioniert wird nicht ausreichen, weil es gibt natürlich Zahlen, bei denen man so einen Quotienten erhält, der die Nullstellen als Teiler hat (wie in Aufgabe 2 gezeigt).
Genau das mit der Summe kann man gut als Widerspruchsbeweis führen. Falls du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal :) ─ christian_strack 27.10.2021 um 14:00
Genau das mit der Summe kann man gut als Widerspruchsbeweis führen. Falls du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal :) ─ christian_strack 27.10.2021 um 14:00
Sehr gerne :)
─
christian_strack
27.10.2021 um 22:10
$$ \sqrt p = \frac s t $$
mit $s,t \in \mathbb Z$ und $\mathrm{ggT}(s,t)=1$ (also teilerfremd).
Wenn das für $\sqrt p$ gilt, was gilt dann für $p$? ─ christian_strack 25.10.2021 um 13:42