Bogenlänge einer Kurve berechnen

Aufrufe: 104     Aktiv: 14.06.2022 um 20:52

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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Seien $ v, w \in \mathbb{R}^{n} $ fest vorgegeben. Ich soll für die Kurve
$ c:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{n}, t \mapsto(1-t) v+t w $ die Bogenlänge bestimmen.

Ich berechne zunächt den Tangentenvektor:
$c(t)=(1-t)v+tw$
$c´(t)=w-v$
Also ist mein Tangentenvkor $\vec{t}=(w-v)$

Zum berechnen der Bogenlänge einer Abbildung $\phi:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n $habe ich die Formel: $BL=\int \limits_{a}^{b}||\phi ´(t)||dt$.
Nach einsetzen erhalte ich also: $BL=\int \limits_{0}^{1}||w-v||dt$

Was fange ich jetzt mit $||w-v||$ an? Normalerweise hatte ich immer ein 2 oder 3- zeiligen Vektor da stehen, den man dann einfach ausrechnen konnte. Bei diesem allgemeinen Fall bin ich mir etwas unsicher, das hier war so eine Idee, aber die finde ich jetzt auch nicht sonderlich hübsch:

$||w-v||=(\sum \limits_{j=1}^{n}|(w-v)_j|^2)^{\frac{1}{2}}$

$\int \limits_{0}^{1}||w-v||dt= \int \limits_{0}^{1}(\sum \limits_{j=1}^{n}|(w-v)_j|^2)^{\frac{1}{2}}dt = (\sum \limits_{j=1}^{n}|(w-v)_j|^2)^{\frac{1}{2}}$

Gibt es irgendwo einen Plotter oder eine Möglichkeit, sich diese Kurve mal zeichenen zu lassen?
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1 Antwort
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Das ist alles richtig.
Hübsch ist es nur deshalb nicht, weil Du die Def. der Norm eingesetzt hast. Ist hier gar nicht nötig. Man erkennt ja, dass der Integrand konstant ist, und Integral über Konstante ist einfach.
Nimm mal n=2, zwei Vektoren v und w, und rechne ein paar Punkte der Kurve aus und skizziere. Mach es wirklich.
Du wirst sehen, die Kurve ist gar nicht so kurvig, und die berechnete Länge passt wunderbar zu dem, was Du in der Skizze siehst.
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Das mit dem n=2 setzen war ein sehr guter Hinweis. Habe mir mal ein paar Punkte im $\mathbb{R}^2$ bzw. auch $\mathbb{R}^3$ eingesetzt und gesehen, dass es sich dabei nur um Geraden handelt. Wenn ich die Norm einfach stehen lasse, sieht das auch nicht so schrecklich aus und es kommt sogar das Richtige raus.
Danke für dein Hilfe :D

Kleine Frage aus Interesse: Hast du das direkt an der gegebenen Form gesehen, dass es sich dabei um Geraden handeln muss, oder hast du das auch erst ausprobiert?
  ─   miguel 14.06.2022 um 19:06

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Das solltest du aus der Schule kennen. Dort gibt es die Geradengleichung in Parameterform: $g:\vec{x}=\vec{u}+t\vec{v},\ t\in\mathbb{R}$. ;) Da nun aber der Parameter aus $[0;1]$ ist, haben wir nur die Strecke zwischen den beiden Punkten, die durch die Vektoren $v$ und $w$ beschrieben werden. Und wie lang diese Strecke ist, ist ja nichts anderes als die Norm des Verbindungsvektors $v-w$.

Es ist übrigens immer hilfreich, sich sowas für konkrete Beispiele anzuschauen, um dann zu sehen, in welche Richtung das geht.
  ─   cauchy 14.06.2022 um 20:49

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Ich kenne diese Form der Kurve. Wenn Du sie schreibst als $c(t)=v+t\cdot(w-v)$, siehst Du, dass es eine Gerade in Punkt-Richtung-Form ist, wie in Lin. Alg. gelernt.
Oft (auch hier im Forum) kommt die Frage andersrum: "Integrieren Sie die Funktion f.... entlang der Verbindungsstrecke von v nach w." Und die Leute wissen dann nicht, wie sie aus "Verbindungsstrecke" eine Kurve $c(t)$ machen sollen. Das kann Dir aber jetzt nicht mehr passieren ;-).
  ─   mikn 14.06.2022 um 20:50

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