Wie kann ich rechnerisch erkennen, ob dieses LGS eine, keine oder unendliche viele Lösungen hat?

Aufrufe: 504     Aktiv: 27.01.2021 um 18:58
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Hallo Zusammen, ich habe dieses Lineare Gleichungssystem nach y aufgelöst und das untere auch. Jedoch, wie kann ich rechnerisch bestimmen oder sehen, ob das Resultat eine, keine oder unendliche Lösungen hat? macht für mich noch irgendwie keinen Sinn

 

Besten Dank für Eure Hilfe im Voraus!

Lgs
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Betrachte die Determinante der Matrix der Koeffizienten rechts (ich habe \(x\) und \(y\) umsortiert): \[\det\pmatrix{-3&2\\2&\frac19}=-\frac13-4\neq0.\] Das bedeutet, dass das LGS eine eindeutige Lösung besitzt.

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Habe noch nie mit dieser Methode gerechnet aber scheint Sinn zu machen. Hast du in der Klammer die minus 3 mit 1/9 mal genommen und dann minus die 2 mal 2? könntest du mir bitte sagen wie man auf die Zahlen in der Klammer kommt? Weil dann würde ich das voll nachziehen können!   ─   farhan714 27.01.2021 um 18:00
Die Zahlen kommen direkt aus der linken seite des LGS:\begin{align*} -3x+2y&=12\\2x+\frac19y&=20.\end{align*} Man nennt sie die *Koeffizienten*.   ─   slanack 27.01.2021 um 18:25
Ach so super! aber wie kommst du denn auf 1/9y? es handelt sich dabei um y/a , dass sollte ein a sein und keine 9. Mein Fehler, dass ich es nicht hingeschrieben habe. wie würde es dann gehen wenn der Koeffizient ein y/a ist wie in meinem Beispiel?   ─   farhan714 27.01.2021 um 18:27
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Ah ok, ja dann wäre die Determinante gleich \(-\frac{3}{a}-4\) und es hängt von \(a\) ab, ob sie gleich Null ist oder nicht. Es gibt einen Wert von \(a\), für die sie Null wird, und dann muss man das entsprechende LGS zu lösen versuchen, z.B. mit der Gauß-Eliminierung oder durch einsetzen. In dem Fall kann es sein, dass unendlich viele Lösungen existieren oder dass keine Lösung existiert. Merkt man erst beim Rechnen.   ─   slanack 27.01.2021 um 18:58

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