Es geht um den Beweis folgendes Satzes: Die multiplikative Gruppe \( K^{*} \) eines endlichen Körpers \( K \) ist zyklisch.
Ist \( a \in K^{*} \) mit $Ord (a)=d|$ #$K^{*}$ , so hat \( x^{d}-1 \) genau \( d \) viele Nullstellen in \( K \), nämlich \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \). (Bis hier hin, alles ok)
Wegen \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \) haben \( \varphi(d) \) der Elemente \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \) die Ordnung \( d \). ... (Der Beweis geht noch weiter, aber darum geht es nicht).
Notation:
# $K^*$ Anzahl der Elemente in der multiplikativen Gruppe
\( \varphi(d) \) eulersche Phi-Funktion

Mir bereit die Aussage: "Wegen \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \) haben \( \varphi(d) \) der Elemente \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \) die Ordnung \( d \)"

einiges an Kopfschmerzen. Dabei geht es sowohl um den Beweis, dass \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \) als auch um das Verständnis, warum bestimmte Folgerungen getroffen werden.


Die Ordnung von $a^k$ ist das kleinste $m \in \mathbb{N}$ ist, für das $a^{km}=1$ gilt. Da $a^d =1$ gilt, muss $m$ ein Teiler von $d$ sein, d.h. $m = \frac{d}{t}$ für ein $t \in \mathbb{N}$ (Folgt aus irgendeinem Theorem von Lagrange). Um die Ordnung von $a^k$ zu bestimmen, muss das kleinste $m$ gefunden werden, für das $a^{km} = 1$ gilt.

$$a^{km}=1 \iff (a^{k})^{m}=1 \iff \text{Ord}(a^k) \mid m \iff \text{Ord}(a^k) \mid \frac{d}{k}.$$

Also ist die Ordnung $\text{Ord}(a^k)$ ein Teiler von $\frac{d}{k}$, und somit ist $\text{Ord}(a^k) = \frac{d}{t}$ für ein $t \mid k$. Insbesondere gilt $\text{Ord}(a^k) = d$ genau dann, wenn $\frac{d}{t} = d$, d.h. wenn $t=1$.
{Warum wurde hier jetzt noch so ein $t$ definiert? Warum ist jetzt auf einmal $\text{Ord}(a^k) = \frac{d}{t}$?}

Es gibt genau $\varphi(d)$ natürliche Zahlen $k$ mit $\text{ggT}(d,k) = 1$, und somit gibt es genau $\varphi(d)$ Elemente $1,a,\ldots,a^{d-1}$ mit Ordnung $d$.
{Jetzt gibt es $\varphi(d)$ natürliche Zahlen k die teilerfremd mit d sind. Das ist ja eine schöne Sache, aber warum folgt denn daraus, dass auch $1,a,\ldots,a^{d-1}$ die Ordnung $d$ haben?}

Wirklich klären tut der Beweis jetzt auch nicht, warum \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \).

Ich weiß, dass sind einige Fragen, aber ich freue mich über jede Hilfe, die mich auch nur ein kleines Stückchen weiterbringt.