am ende muss $d/t$ statt $d/k$ stehen, es wurde einfach def von m eingesetzt
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Es geht um den Beweis folgendes Satzes: Die multiplikative Gruppe \( K^{*} \) eines endlichen Körpers \( K \) ist zyklisch.
Ist \( a \in K^{*} \) mit $Ord (a)=d|$ #$K^{*}$ , so hat \( x^{d}-1 \) genau \( d \) viele Nullstellen in \( K \), nämlich \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \). (Bis hier hin, alles ok)
Wegen \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \) haben \( \varphi(d) \) der Elemente \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \) die Ordnung \( d \). ... (Der Beweis geht noch weiter, aber darum geht es nicht).
Notation:
# $K^*$ Anzahl der Elemente in der multiplikativen Gruppe
\( \varphi(d) \) eulersche Phi-Funktion
Mir bereit die Aussage: "Wegen \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \) haben \( \varphi(d) \) der Elemente \( 1, a, \ldots, a^{d-1} \) die Ordnung \( d \)"
einiges an Kopfschmerzen. Dabei geht es sowohl um den Beweis, dass \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \) als auch um das Verständnis, warum bestimmte Folgerungen getroffen werden.
Die Ordnung von $a^k$ ist das kleinste $m \in \mathbb{N}$ ist, für das $a^{km}=1$ gilt. Da $a^d =1$ gilt, muss $m$ ein Teiler von $d$ sein, d.h. $m = \frac{d}{t}$ für ein $t \in \mathbb{N}$ (Folgt aus irgendeinem Theorem von Lagrange). Um die Ordnung von $a^k$ zu bestimmen, muss das kleinste $m$ gefunden werden, für das $a^{km} = 1$ gilt.
$$a^{km}=1 \iff (a^{k})^{m}=1 \iff \text{Ord}(a^k) \mid m \iff \text{Ord}(a^k) \mid \frac{d}{k}.$$
Also ist die Ordnung $\text{Ord}(a^k)$ ein Teiler von $\frac{d}{k}$, und somit ist $\text{Ord}(a^k) = \frac{d}{t}$ für ein $t \mid k$. Insbesondere gilt $\text{Ord}(a^k) = d$ genau dann, wenn $\frac{d}{t} = d$, d.h. wenn $t=1$.
{Warum wurde hier jetzt noch so ein $t$ definiert? Warum ist jetzt auf einmal $\text{Ord}(a^k) = \frac{d}{t}$?}
Es gibt genau $\varphi(d)$ natürliche Zahlen $k$ mit $\text{ggT}(d,k) = 1$, und somit gibt es genau $\varphi(d)$ Elemente $1,a,\ldots,a^{d-1}$ mit Ordnung $d$.
{Jetzt gibt es $\varphi(d)$ natürliche Zahlen k die teilerfremd mit d sind. Das ist ja eine schöne Sache, aber warum folgt denn daraus, dass auch $1,a,\ldots,a^{d-1}$ die Ordnung $d$ haben?}
Wirklich klären tut der Beweis jetzt auch nicht, warum \(\text { Ord } a^{k}=\frac{\operatorname{Ord} a}{\operatorname{ggT}(d, k)} \).
Ich weiß, dass sind einige Fragen, aber ich freue mich über jede Hilfe, die mich auch nur ein kleines Stückchen weiterbringt.
Beim zweiten es ist das Problem, dass es wegen zwei verschiedenen t in einem falsch ist. Ich gebe das Argument hier einmal richtig an:
Die Ordnung von $a^k$ ist das kleinste $m \in \mathbb{N}$ ist, für das $a^{km}=1$ gilt. Da $a^d =1$ gilt, muss $m$ ein Teiler von $d$ sein, d.h. $m=\frac dt$. Um die Ordnung von $a^k$ muss das kleinste $m$ gefunden werden, für das $a^{km}=1$ gilt.
$$a^{km}=1 \Leftrightarrow (a^k)^m=1 \Leftrightarrow ord(a^k) | m \Leftrightarrow Ord(a^k) | \frac d t$$
Also ist die Ordnung $ord(a^k)$ ein Teiler von $\frac dt$ und somit ist $Ord(a^k) = \frac ds$ für ein $s|t$. Insbesondere gilt $ord(a^k)=d$ iff $s=1$ ─ mathejean 01.05.2023 um 11:42