Vollständige Induktion ist so wichtig, weil man sie braucht um die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) zu charakterisieren, Peano-Axiome: https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

In der Praxis ist es aber sehr nützlich. Sehr oft hat man eine Menge \(S\) und fragt sich, ob \(\mathbb{N}\subseteq S\). Es reicht, dann zu zeigen: \(0\in S\) und falls \(n \in \mathbb{N}\cap S\), dann ist auch \(n+1\in S\). Insbesondere folgt dann \(S=\mathbb{N}\), falls \(S\subseteq \mathbb{N}\).

Meistens ist \(S\subseteq \mathbb{N}\) die Menge aller natürlichen Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft. Induktion liefert, dann eine Möglichkeit, zu zeigen, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft haben.

In Analysis wo viele Beweise Symbolmanipulationen sind/enthalten, es ergeben sich so einfache Rechnungen.

Die vollständige Induktion ist eben eine sehr wichtige Beweistechnik, um zum Beispiel von einem oder wenigen Basisfällen auf unendlich viele Fälle schließen zu können (Induktionsschritt). Damit lassen sich dann Aussagen für alle natürlichen Zahlen (oder einer Teilmenge davon) beweisen.