Anscheinend hast du das Konzept eines Widerspruchbeweises noch nicht verstanden. Warum folgt denn, dass du einen negativen und einen positiven Wert hast, wenn du kein Minimum hast? Du willst ja gerade zeigen, dass dies dann nicht der Fall ist, um den Widerspruch zur Annahme zu haben, dass gerade $f'\leq 0$ auf $(a,c)$ und $f'\geq 0$ auf $(c,b)$ gilt.

Dein zweiter Versuch ist ebenso falsch, weil du voraussetzt, dass die Nullstelle in der Ableitung als Existenz ausreicht. Ich sagte aber bereits, dass diese Bedingung nur notwendig und eben nicht hinreichend ist. Die Existenz der Nullstelle reicht also nicht aus. 

Einen Widerspruchbeweis fängt man so an: Angenommen, $c$ ist kein lokales Minimum. Dann ... ! Überlege dir, was dann nach Definition (!) erfüllt sein muss. Damit musst du dann weiterarbeiten. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ..., so dass $f'(\dots)=\dots$ Diese Gleichung für dann zum Widerspruch der Annahme bezüglich der Ableitungen, was auf der linken Seite der Implikation steht.