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An sich ist es ja offensichtlich, wenn alle werte kleiner als 0 sind im Intervall von (a,c) und alle Werte größer als 0 bei (c,b), dann ist die Nullstelle und die Nullstelle der ersten Ableitung ist ja zugleich ein Beweis dafür, dass ich eine Extremstelle habe, dann kann ich ja nun per 2 Ableitung sehen, ob Minimum oder Maximum. Warum soll ich da den Mittelwertsatz verwenden? Der Mittelwertsatz sagt ja nur, dass ich eine Stelle habe, die die gleiche Steigung hat, wie die Sekante von a,c bzw c,b?
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1. $f'(x)=0$ ist nur notwendig und sichert NICHT die Existenz eines Extremums. 2. Die Funktion muss nicht zweimal differenzierbar sein und der Satz gilt trotzdem. Die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung bringt dich hier also gar nicht weiter. 3. Die Bedingungen im Satz sind bereits hinreichend für die Existenz des Extremums. Aus der Schule kennt man das auch als Vorzeichenwechselkriterium.   ─   cauchy 24.04.2022 um 19:11

Ich kann ja per Mittelwertsatz sagen, dass der bei f´<= 0 (a,c) ein Punkt exisitieren muss, mit negativem Vorzeichen, laut MIttelwertsatz und dann muss ebenso wegen f´(x)>=0 au f(c,b) ein Punkt exisitieren mit positiver Steigung, man hat daher ein Vorzeichenwechsel von minus zu plus und daher minimum?

Das wäre deine Aussage übersetzt oder?
  ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 19:23

Genau diese Aussage ist ja zu beweisen.

Es steht ja schon im Hinweis, dass du einen Widerspruchsbeweis führen sollst. Also fang doch damit erstmal an und schaue dann, ob du damit schon weiter kommst. Man muss anfangen und ausprobieren und rechnen.
  ─   cauchy 24.04.2022 um 19:24

Aso, ich dachte das sei der Beweis.

Ich kann ja einfach sagen, gehen wir davon aus, dass kein Minimum herrschen würde, so heißt dies ja ich dürfte, wenn ich (a,b) betrachte keinen Vorzeichenwechsel haben, aber per Mittelwertsatz erhalte ich einen negativen Wert für (a,c) und einen positiven für (c,b) somit habe ich ein Vorzeichenwechsel und da von negativ zu plus, ist das ein Minimum?
  ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 19:29

Oder ist das nicht schon ein beweis:

Ich sage ich habe einen Bereich im Intervall, wo meien y-Werte kleiner 0 sind, dann habe ich einen Bereich wo die y-Werte größer 0 sind. Das heißt ich habe iene Nullstelle, jede Nullstelle ist ein Extrempunkt. Das würde doch schon als Beweis reichen oder nicht? Wozu Mittelwertsatz? Mit Vorzeichenwechsel kann ich dann noch auf Minimum bzw. Maximum auslaufen
  ─   ijhqdiu2 24.04.2022 um 19:49
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Anscheinend hast du das Konzept eines Widerspruchbeweises noch nicht verstanden. Warum folgt denn, dass du einen negativen und einen positiven Wert hast, wenn du kein Minimum hast? Du willst ja gerade zeigen, dass dies dann nicht der Fall ist, um den Widerspruch zur Annahme zu haben, dass gerade $f'\leq 0$ auf $(a,c)$ und $f'\geq 0$ auf $(c,b)$ gilt.

Dein zweiter Versuch ist ebenso falsch, weil du voraussetzt, dass die Nullstelle in der Ableitung als Existenz ausreicht. Ich sagte aber bereits, dass diese Bedingung nur notwendig und eben nicht hinreichend ist. Die Existenz der Nullstelle reicht also nicht aus. 

Einen Widerspruchbeweis fängt man so an: Angenommen, $c$ ist kein lokales Minimum. Dann ... ! Überlege dir, was dann nach Definition (!) erfüllt sein muss. Damit musst du dann weiterarbeiten. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ..., so dass $f'(\dots)=\dots$ Diese Gleichung für dann zum Widerspruch der Annahme bezüglich der Ableitungen, was auf der linken Seite der Implikation steht.
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