Vollständige Induktion bei einer Ungleichung.

Aufrufe: 200     Aktiv: 22.11.2020 um 19:47

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Ich habe den zweiten teil der Ungleichung schon bewiesen,nur kriege ich das beim ersten teil nicht hin.

Ich habe das Produkt in der Mitte umgeschrieben mit produktzeichen.

Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte, wie ich nach  1/n+2 weitermachen soll.

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Lies unbedingt meinen Hinweis zu Deiner anderen Induktionsfrage (der Hinweis gilt auch für Ungleichungen). Man fängt also nicht mit 1/(n+2) an, was soll man auch umformen bei so einem kleinen Ausdruck? Fang mit dem Produkt an, spalte den letzten Faktor ab, bringe die IV ein, und dann schauen was da steht und wo man hinwill.

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Vielen dank für die antwort.
ich habe nach einsetzen der I.V stehen: ..>= 1/n+1 * (2n+1 / 2n+2), aber ich weiß nicht wie ich diesen n+1 ten teil vom produkt abschätzen soll.
  ─   eray278n 22.11.2020 um 16:15

Ok, das ist in der Tat nicht so einfach. Wenn man an so was festhängt, kann man versuchen, das noch fehlende in einer Nebenrechnung zu zeigen:
\(\frac1{n+1}\frac{2n+1}{2n+2}-\frac1{n+2} =\frac{n}{2\,(n+1)^2(n+2)}\), was offensichtlich \(\ge 0\) ist für alle n.
Eleganter wäre (aber auch dazu braucht man ne kleine NR):
\(\frac1{n+1}\frac{2n+1}{2n+2} = \frac{2n+1}{2n^2+4n+2}\ge \frac{2n+1}{2n^2+5n+2} =\frac{2n+1}{(2n+1)(n+2)}=\frac1{n+2}\)
Hier wurde die Regel "ein Bruch wird kleiner, wenn der Nenner größer wird" (also hier 4n durch 5n ersetzt) benutzt. Ich hab halt geschaut, was im Nenner stehen müsste, damit nach Kürzen von 2n+1 (Zähler) 1/(n+2) übrig bleibt. Denn der Zähler muss ja irgendwie weg.
Das ist wirklich keine leichte Abschätzung, was daran liegt, dass der Unterschied zwischen \(\frac1{n+1}\frac{2n+1}{2n+2}\) und 1/(n+2) sehr sehr klein ist. D.h. wenn man zu grob abschätzt, schießt man am Ziel vorbei (d.h. dass die Differenz aus dem ersten Weg nur sehr wenig größer als 0 ist, sie geht sogar gegen 0 für n gegen unendlich).
  ─   mikn 22.11.2020 um 16:42

vielen vielen dank. sie haben mir sehr geholfen. Schönen abend ihnen noch   ─   eray278n 22.11.2020 um 16:49

Danke, freut mich, und auch einen schönen Abend.   ─   mikn 22.11.2020 um 16:51

Hallo nochmal. Ich wollte eigentlich nicht nochmal nachfragen, aber ich habe das gleiche problem auf der rechten Seite. Ich bin wieder vom Produkt ausgegangen und hab die I.V benutzt. Jetzt hab ich da stehen: ...<= 1/wurzel(3n+1) * 2n+1/2n+2 . Ich weiß nicht wie ich da weiter abschätzen soll. Probiere es schon seit längerem.   ─   eray278n 22.11.2020 um 17:18

Ok, das ist auch nicht einfacher. Da man (d.h. ich) ungern mit Wurzeln rechne, schreiben wir alles unter eine Wurzel:
\(\frac1{\sqrt{3n+1}}\frac{2n+1}{2n+2}=\sqrt{\frac{(2n+1)^2}{(3n+1)(2n+2)^2}}=\sqrt{\frac{(2n+1)^2}{12n^3 + 28 n^2 +20n+4}}\le \sqrt{\frac{(2n+1)^2}{12n^3 + 28 n^2 +19n+4}} = \sqrt{\frac{(2n+1)^2}{(3n+4)(2n+1)^2}}=\frac1{\sqrt{3n+4}}\).
Ich hab in einer NR die Nenner unter der Wurzel angeschaut: Wir haben (linke Seite, vom Produkt kommend): (3n+1)(2n+2)^2, wir wollen (rechte Seite, I.B.): (3n+4)(2n+1)^2}. Ausmultiplizieren, vergleichen, und man stellt fest, Unterschied von 20 und 19.
Wirklich keine einfache Abschätzung!
  ─   mikn 22.11.2020 um 19:43

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