Wie beweise ich dass diese Funktion konvex ist?

Aufrufe: 30     Aktiv: 28.03.2021 um 14:50

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Hallo zusammen

ich müsste für folgende Funktion
\(f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=|x|\) beweisen ob sie konvex ist. Dabei dachte ich mir ich versuche es wie folgt über die Definition:

Sei \(t \in [0,1]\) und \(x,y \in \mathbb{R}^d\).
\(f(tx+(1-t)y)=|tx+(1-t)y| \stackrel{Dreiecksungleichung\,\ der\,\,Norm}{\leq}|tx|+|(1-t)y| \stackrel{Homogenität}{=} |t||x|+|1-t||y| \stackrel{t\geq 0 \wedge (1-t)\geq 0}{=}t|x|+(1-t)|y|=tf(x)+(1-t)f(y)\)

Das würde dann heissen dass die Funktion konvex ist.

Ich bin mir aber nicht sicher ob ich das wirklich einfach so machen kann, denn es scheint mir ein wenig leicht gegangen zu sein, also so nach dem Motto ist es zu leicht ist es falsch.

Könnte sich das also jemand kurz anschauen?

Vielen Dank und viele Grüsse

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Doch, das geht so einfach. Alles in Ordnung. Nochmal (glaube ich): "beweisen, dass" oder "prüfen,ob ". Ist ein Unterschied in der Aufgabenstellung.
Du hast übrigens nicht gesagt, was
ist, aber man sieht ja, dass es im Beweis auch nicht nötig ist. Jede Norm in R^n ist konvex, sogar in jedem normierten Raum.
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ah okei vielen dank dann bin ich froh dass das so geklappt hat!
  ─   karate 28.03.2021 um 14:50

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