(1) Es ist \(n!\leq n^n\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) und somit \(\dfrac{1}{n^n} \leq \dfrac{1}{n!}\).

(2) Es ist \(\left(\dfrac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2}} \leq n!\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) und somit \(\dfrac{1}{n!} \leq \left(\dfrac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\).

Diese beiden Abschätzungen für die Fakultät können mittels vollständiger Induktion bewiesen werden. Siehe hierzu folgenden Link als Idee:

https://www.mathelounge.de/112391/abschatzung-von-fakultaten-n-2-n-2-n-n-n

Somit ergibt sich:

\(\dfrac{1}{n^n} \leq \dfrac{1}{n!} \leq \left(\dfrac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} \quad \Leftrightarrow \quad \left(\dfrac{1}{n^n}\right)^{\frac{1}{n}} \leq \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\frac{1}{n}} \leq \left(\left(\dfrac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} \right)^{\frac{1}{n}} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{n} \leq \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\frac{1}{n}} \leq \sqrt{\dfrac{2}{n}}\)

Nun über alle Terme den Grenzwert für \(n\longrightarrow \infty\). Rechts und links laufen gegen Null. Nach Sandwich-Theorem  folgt dann die Behauptung.

Hoffe das hilft.

0^0 (darauf käme ich) ist per definitionem 1 (weil superpraktisch), muss aber rechnerisch nicht automatisch stimmen, vll. liegt es an sowas