Formalitäten bei Stammfunktionen

Aufrufe: 567     Aktiv: 22.01.2021 um 10:17

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Liebes Forum,

 

es sei f mit f(x)=x^2 gegeben.

 

Der Auftrag lautet: Bestimmen Sie eine Stammfuktion F.

 

Ich frage mich, wie der symbolische Operator dafür lautet. Das unbestimmte Integral fordert ja im prinzip dazu auf, eine Stammfunktion zu bestimmen aber ebene die Menge aller Stammfunktionen.

Wäre es dann formal so richtig:

 

F(x)=∫x^2dx =1/3 x^3 +c   (Menge aller Stammfunktionen)

--> F(x)=1/3 x^3     (Eine Stammfunktion für die untere Grenze 0)

 

Und i.d.R. spart man sich den Zwischenschritt über ads unbestimmte Integral und schreibt direkt F(x)=... mit einem bestimmten Wert für c?

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Da es keine eindeutige Stammfunktion gibt, ist es nicht sinnvoll, einen Operator für eine einzelne Stammfunktion zu definieren, da dieser dann nicht eindeutig definiert ist. Wie du richtig gesagt hast, bezeichnet \(\int f(x)\,dx\) die Menge aller Stammfunktionen. Deshalb solltest du nicht \(F(x)=\int f(x)\,dx\) schreiben, denn auf der linken Seite der Gleichung steht eine Funktion, auf der rechten Seite eine Menge von Funktionen. Ansonsten kannst du aber, nachdem du das unbestimmte Integral berechnet hast, hinschreiben, dass \(F(x)=...\) eine Stammfunktion ist, ja. Bei so einer einfachen Funktion kannst du auch direkt die Stammfunktion hinschreiben, den Schritt mit dem Integral braucht man höchstens, wenn die Funktion komplizierter ist, sodass man die Stammfunktion nicht mehr direkt ablesen kann.

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Ich muss nochmal nachhaken:
Die Integralfunktion ist ja eine spezielle Stammfunktion.

Aber sie hängt doch auch von der unteren Grenze a ab, da c=-F(a).

Ist also die Integralfunktion nicht eigeintlich auch eine Menge von Stammfunktionen? Und dennoch schreibt man F(x)=...?
  ─   handfeger0 21.01.2021 um 13:45

Die Integralfunktion zu einer bestimmten unteren Grenze \(a\) ist eindeutig definiert als \(I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt\). Solange du die untere Grenze spezifizierst, ist die Integralfunktion eindeutig. Du kannst nicht von "der Integralfunktion" sprechen, ohne eine Grenze anzugeben.   ─   stal 21.01.2021 um 14:04

Aber ist nicht das unbestimmte Integral für ein festes c auch eindeutig bestimmt ?
Wo liegt der Unterschied...
  ─   handfeger0 21.01.2021 um 15:53

Es ist im Prinzip das gleiche. Es gibt weder "die Integralfunktion" noch "die Stammfunktion", von jeder gibt es (in der Regel) unendlich viele. Durch Angabe von verschiedenen Parametern kann man eine eindeutige Integralfunktion bzw. Stammfunktion angeben, man kann auch sagen: Diese Funktion ist eine Stammfunktion/Integralfunktion. Für die Menge der Integralfunktionen gibt es allerdings keine geläufige Notation.   ─   stal 21.01.2021 um 17:07

Hmm. Aber beinhaltet nicht die Definition der Integralfunktion gerade eine Menge an Funktionen?
Das war ja die Frage. Für unterschiedliche a bekomme ich unterschiedliche Integralunktionen. Für unterschiedliche c bekomme ich unterschiedliche Stammfunktionen...
  ─   handfeger0 22.01.2021 um 09:16

Nein, die Integralfunktion ist keine Menge von Funktionen, der Ausdruck "die Integralfunktion" ergibt überhaupt keinen Sinn. Die Menge der Integralfunktionen ist eine Menge von Funktionen. Wenn du von der Integralfunktion sprichst, musst du eine spezifische Funktion angeben.   ─   stal 22.01.2021 um 10:17

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