Dass jede Integralfunktion eine Stammfunktion ist, ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie und ob du das beweisen kannst, hängt davon ab, wie du ein Integral definiert hast und was du schon über Integrale weißt.
Um zu zeigen, dass nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion ist, genügt es, ein Beispiel anzugeben. Betrachte \(F(x)=x^2+1\), was eine Stammfunktion von \(f(x)=2x\) ist. (Überprüfbar durch einfaches Ableiten). Aber \(F\) kann keine Integralfunktion sein, denn \(F\) hat keine Nullstelle.