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Die Rechnungen stimmen aus meiner Sicht, bis auf einen Fehler: Die wertabh. Lagerkosten bei 1000m²/Bestellung nur 495€/Jahr.
Und es könnte ja sein, dass das Optimum bei irgendwelchen anderen Werten erreicht ist, z.B. bei 300 m²/Bestellung oder bei 2000 m²/Bestellung oder bei 4000 m²/Bestellung.
Ich fürchte, hier muss man innerhalb jeder Preisstufe mit der Differentialrechnung optimieren.
Z.B. sieht diese Rechnung für die Basis-Preisstufe von 22€/m² so aus:
Sei x die Bestellmenge in m².
Kosten für Stoff= \(22 \cdot 6000\) €/Jahr = 132.000 €/Jahr
Stückabh. Lagerkosten = \(x/2 \cdot 0,\!25 \cdot 12\) €/Jahr = \(1,\!5 \cdot x\) €/Jahr
Wertabh. Lagerkosten = \(x/2 \cdot 22 \cdot 0,05\) €/Jahr = \(0,\!55 \cdot x\) €/Jahr
Fixe Kosten = \(6000/x \cdot 300\) €/Jahr = \(180.000/x\) €/Jahr
Gesamtkosten: \(132.000 + 2,05x + 180.000/x\) €/Jahr
Ableiten nach x: \(2,05 -180.000/x^2\) €/Jahr
Ableitung muss im Maximum 0 sein: \(2,05 -180.000/x^2=0\).
Auflösen nach x ergibt x=296.
Nun muss man prüfen, ob für 296 m² die Basispreisstufe gilt (wenn nicht, dann kann diese Bestellmenge nicht das Optimum sein): Jawohl, tut sie, denn 296 m²<1000 m².
Also muss man die Gesamtkosten bei 296 m² ausrechnen. Das wären nach obiger Formel \(132.000 + 2,05 \cdot 296 + 180.000/296\) €/Jahr = 133.215€/a.
Besser als bei 500 m² Bestellmenge, aber immer noch teurer als bei 1000 m², also kein Optimum.
Die Rechnung für 500 m² Bestellmenge ist übrigens überflüssig.
Nun muss man die gleiche Rechnung für die anderen Preisstufen aufmachen. Und erhält so vielleicht noch niedrigere Gesamtkosten.
Die Gesamtkosten sind also für folgende Bestellmengen zu berechnen:
- An den Preissprüngen, also 1000 m² und 3000 m². Das hast Du ja schon ausgerechnet.
- An den durch Differentialrechnung ermittelten Optima für innerhalb der einzelnen Preisstufen, also
- 296 m²
- Optimum der Rabattstufen von 10% ...
- ... und 13%.
Und es könnte ja sein, dass das Optimum bei irgendwelchen anderen Werten erreicht ist, z.B. bei 300 m²/Bestellung oder bei 2000 m²/Bestellung oder bei 4000 m²/Bestellung.
Ich fürchte, hier muss man innerhalb jeder Preisstufe mit der Differentialrechnung optimieren.
Z.B. sieht diese Rechnung für die Basis-Preisstufe von 22€/m² so aus:
Sei x die Bestellmenge in m².
Kosten für Stoff= \(22 \cdot 6000\) €/Jahr = 132.000 €/Jahr
Stückabh. Lagerkosten = \(x/2 \cdot 0,\!25 \cdot 12\) €/Jahr = \(1,\!5 \cdot x\) €/Jahr
Wertabh. Lagerkosten = \(x/2 \cdot 22 \cdot 0,05\) €/Jahr = \(0,\!55 \cdot x\) €/Jahr
Fixe Kosten = \(6000/x \cdot 300\) €/Jahr = \(180.000/x\) €/Jahr
Gesamtkosten: \(132.000 + 2,05x + 180.000/x\) €/Jahr
Ableiten nach x: \(2,05 -180.000/x^2\) €/Jahr
Ableitung muss im Maximum 0 sein: \(2,05 -180.000/x^2=0\).
Auflösen nach x ergibt x=296.
Nun muss man prüfen, ob für 296 m² die Basispreisstufe gilt (wenn nicht, dann kann diese Bestellmenge nicht das Optimum sein): Jawohl, tut sie, denn 296 m²<1000 m².
Also muss man die Gesamtkosten bei 296 m² ausrechnen. Das wären nach obiger Formel \(132.000 + 2,05 \cdot 296 + 180.000/296\) €/Jahr = 133.215€/a.
Besser als bei 500 m² Bestellmenge, aber immer noch teurer als bei 1000 m², also kein Optimum.
Die Rechnung für 500 m² Bestellmenge ist übrigens überflüssig.
Nun muss man die gleiche Rechnung für die anderen Preisstufen aufmachen. Und erhält so vielleicht noch niedrigere Gesamtkosten.
Die Gesamtkosten sind also für folgende Bestellmengen zu berechnen:
- An den Preissprüngen, also 1000 m² und 3000 m². Das hast Du ja schon ausgerechnet.
- An den durch Differentialrechnung ermittelten Optima für innerhalb der einzelnen Preisstufen, also
- 296 m²
- Optimum der Rabattstufen von 10% ...
- ... und 13%.
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m.simon.539
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