Lineare Hülle einer Matrix

Aufrufe: 1101     Aktiv: 04.02.2021 um 12:43

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In der Mathe-Vorlesung hat der Professor eine Matrix A genommen, und die mit einer Matrix x multipliziert, sodass eine Matrix b herauskommt, z.B. beim Lösen eines Linearen Gleichungssystems. Er stelt die Matrix als (a1 .... an) dar und multipliziert diese mit x, und das Ergebnis soll dann in der linearen Hülle (also der Dimension) von a liegen (ai * xi) lineare Hülle von (a1 ... an), das ergibt aber für mich leider nur wenig Sinn. Einerseits kann man eine Matrix ja nicht als Zeilenmatrix darstellen (oder entnimmt er eine Zeile) und andererseits, wenn die Matrix A als Zeile dargestellt werden würde, müsste die mit dieser Matrix multiplizierte Matrix so viele Zeilen wie die A Matrix Spalten hat. z.B. (A sei 1 * 5 )=> * (5 * 1 ) das Ergebnis wäre dann jedoch eine 1x1 Matrix (Skalarobjekt) aber kein Objekt, das in der linearen Hülle der von A erzeugten Matrix liegt (das ergibt für mich leider seit längerem keinen Sinn - und ich weiß leider sonst nicht, wo ich die Frage stellen könnte.
z.B. beim Lösen eines linearen Gleichungssysteme
2x + 4y = 6
4x + 8y = 12
dann wäre die Systemmatrix eine 2 * 2, die Variablenmatrix eine (2 * 1) und die Ergebnismatrix eine 2 * 1 (und die Spalten der Ergebnismatrix würden somit nicht in der linearen Hülle der Spalten der Systemmatrix liegen)

Hoffe das Bild ist kein Problem, werde es aber sowieso wieder löschen - danke, ihr würdet mir sehr weiterhelfen :)
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Erstmal vorab: Wenn eine Matrix nur eine Zeile oder nur eine Spalte hat, spricht man von einem Vektor. Man sollte für derartige Objekte auch den Begriff des Vektors verwenden. 

Es wird also eine Matrix \(A\) mit dem Variablenvektor \(x\) multipliziert und es kommt ein Vektor \(b\) heraus. Das Ganze ist ein lineares Gleichungssystem. Dein Professor schreibt die Matrix als \(A=(\underline{a_1},\dots,\underline{a_n})\), wobei die \(\underline{a_i}\) die Spalten der Matrix sind. Es ist also kein Zeilenvektor, wie du vermutest. Folglich ist \(Ax\) wohldefiniert und kann eben dargestellt werden als \((\underline{a_1},\dots,\underline{a_n})x=\sum\limits_{i=1}^nx_ia_i\) und das ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren von \(A\) und deshalb per Definition ein Element der linearen Hülle. 

Zu deinem Beispiel: Warum würde der Ergebnisvektor nicht in der linearen Hülle liegen? Er ist doch gerade eine Linearkombination der Spalten von \(A\). Ich denke, dass du mit den Definitionen noch nicht so ganz vertraut bist und das deshalb für Verwirrung sorgt.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Danke :) Also mit A = (a1 ... an) ist ein Spaltenvektor gemeint? D.h. man würde aus
2 * x + 4 * y = 6
4 * x + 8 * y = 12
Die Spalte (2 4 ) extrahieren und als Linearkombination mit x darstellen (bspw.), sodass 2 * 1 x 1 * 1, das Ergebnis wieder in der linearen Hülle der Spalten liegt? Anders ergibt es für mich keinen Sinn, wenn man die Systemmatrix nimmt, z.B. (2 4 / 4 8 ) und die Variablematrix (x / y), dann wäre ja das Ergebnis nicht in der linearen Hülle von der Systemmatrix, weil die Spalten ja nicht übereinstimmen, aber er nimmt sich ja explizit ein x heraus, als eine Spalte (hänge gerade komplett, leider) - schreib dir sobald ich da weitermache (spätestens übermorgen, hoffe du siehst es), aber kannst du in etwa nachvollziehen, was ich nicht ganz verstehe?
  ─   infomarvin 02.02.2021 um 00:13

Es ergibt deswegen keinen Sinn [(wiederhole alles für die Prüfung) - und theoretisch könnte man ja Teile, die man wenig bis gar nicht versteht einfach so hinnehmen und auswendig lernen (was ich bei bisher 75% vermieden habe - 25% fehlen) - würde aber wenig Sinn machen -] weil die Notation in keinster Weise erklärt wird. Es wird zwar erklärt, was eine lineare Hülle sei, nämlich, dass M beispielsweise eine Teilmenge eines Vektorraums sei und [M] seien alle Möglichen Kombinationen, die mithilfe von dem Vektor M, mithilfe von Linearkombinationen (mit Lambda) dargestellt werden können. Weiters wird erkärt, dass eine Menge von Vektor genau dann linear unabhängig sei, wenn man diese nur als Trivialkombination der Linearkoeffizienten darstellen kann. (Soweit habe ich es verstanden) (dann entsprechend den Sinn von Basen und deren linearer Unabhängigkeit, sodass die Dimension gewahrt bleibe) .. das erklärt mir nur leider alles nicht, was überhaupt gemeint ist mit A * x = b

Ich bin nur die Notation aus der Schule gewöhnt
2x + 3y = 8
4x + 6y + 16
Und das man dieses Gleichungssystem in eine Systemmatrix (Koeffizientenmatrix), Variablenmatrix und Ergebnismatrix darstellen kann. Demnach hätte die Systemmatrix eine Dimension von 2 x 2 , die Variablenmatrix (2 * 1) und die Ergebnismatrix 2 * 1 (da die Spalten der 1. Matrix gleich den Zeilen der 2. Matrix sein müssen => A (m * b) * C(b * x) = D (m * x)

Könntest du mir das bitte anhand des Beispiels verdeutlichen, was die Notation aussagt (bin schon langsam am Verzweifeln) - finde auch ehrlicherweise keine sinnvollen Erklärungen sonst zur gegebenen Notation

Vielen, vielen Dank :)
  ─   infomarvin 02.02.2021 um 11:17

In deinem Beispiel wäre \(A=((2,4)^T,(3,6)^T)\), \(x=(x,y)^T\) und \(b=(8,16)^T\)   ─   mathejean 02.02.2021 um 11:25

Dann müssten aber die Spalten der 1. Matrix gleich den Zeilen der 2. sein, oder gelten die Regeln in dem Fall nicht (ist schwierig mit Latex) darzustellen, aber steht 2 4 untereinander oder nebeneinander und ist das Transponierte bereits angewendet worden? Kennt vielleicht jemand ein Video, das die Notation etwas erklären könnte? Danke auf jeden Fall :)   ─   infomarvin 02.02.2021 um 11:39

Ja 2 und 4 stehen untereinander. Schau mal am besten im Internet nach der erweiterten Koeffizientenmatrix, so kannst du dir die Schreibweise vielleicht besser vorstellen   ─   mathejean 02.02.2021 um 11:45

Eine Frage noch, dann hast du die Matrix aber noch nicht Transponiert oder, oder welchen Sinn hätte die Transponierung in diesem Fall? (Spalten der 1. müssen gleich den Zeilen der 2. Matrix/ bzw. Vektor sein, oder?) Danke werde ich machen :)   ─   infomarvin 02.02.2021 um 11:50

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.