Lineare (Un)abhängigkeit von e^x und ln(x)

Aufrufe: 263     Aktiv: 20.07.2023 um 18:52

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Damit man die lineare Unabhängigkeit von Funktionen überprüft, muss man für jeden x-Wert einer triviale Lösung finden.
Ich setze nun mit x element von R>0 den Wert 1. Dann bekommt die Gleichung a*e^1 + b*ln(1) = a*e + b*(0) = 0 raus. Heisst das, da b einen beliebigen Wert einnehmen kann, dass die Lösung nicht trivial ist und somit die Funktionen zueinander linear abhängig sind? Irgendie habe ich dass Gefühlt ich verpasse etwas wesentliches...
Vielen Dank im Voraus.
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2 Antworten
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Moin,

wir nehmen uns eine Linearkombination der 0 her: $$a\cdot e^x+b\cdot \ln{x}=0$$Wir sind im Vektorraum der stetigen Funktionen auf allen positiven rellen Zahlen(nehme ich an), also ist $0$ die Funktion $$0:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R}, x\mapsto 0$$Falls wir $a,b\neq0$ finden können, dann sind die Funktionen linear abhängig. Einsetzen ist ein guter Ansatz: $x=1$ liefert$$a\cdot e^1+b\cdot \ln{1}=a\cdot e=0$$also muss $a=0$ sein. z.B. Einsetzen von $x=e$ liefert nun $$0\cdot e^{e}+b\cdot \ln{e}=b=0$$Also muss $a=b=0$ und $e^x$ und $\ln{x}$ sind linear unabhängig.

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Der entscheidende Punkt ist, dass die Linearkombination =0 für ALLE $x$ gelten muss, mit denselben $a,b$. Daher kann man sich aussuchen, welche $x$ man nimmt.   ─   mikn 20.07.2023 um 17:05

Genau, 2 Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Werte des Definitionsbereiches übereinstimmen   ─   fix 20.07.2023 um 18:33

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nein, wenn ihre Funktionswerte für alle Werte des Definitionsbereichs übereinstimmen.   ─   mikn 20.07.2023 um 18:45

das habe ich geschrieben

  ─   fix 20.07.2023 um 18:47

Du hast geschrieben, die Funktionen müssen übereinstimmen. Der Punkt in der ganzen Aufgabe ist der Unterschied zwischen Funktion und Funktionswert, der darf hier nicht untergehen.   ─   mikn 20.07.2023 um 18:52

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Ich wäre wie folgt da rangegangen, aber ist nur ne Idee und ohne Gewähr ob's richtig ist. Da du zwei Unbekannte hast würde ich mit zwei Gleichungen versuchen zu arbeiten. Du hast allgemein für $x\in \mathbb{R}^+$ die Gleichung:
\[ae^x+b\ln(x)=0\]
Leite die Gleichung mal nach $x$ ab, dann erhältst du eine zweite Gleichung. Danach ziehst du die zweite von der ersten Gleichung ab, was erhältst du? Kannst du damit auf dein $b$ schließen?
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