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Moin,
wir nehmen uns eine Linearkombination der 0 her: $$a\cdot e^x+b\cdot \ln{x}=0$$Wir sind im Vektorraum der stetigen Funktionen auf allen positiven rellen Zahlen(nehme ich an), also ist $0$ die Funktion $$0:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R}, x\mapsto 0$$Falls wir $a,b\neq0$ finden können, dann sind die Funktionen linear abhängig. Einsetzen ist ein guter Ansatz: $x=1$ liefert$$a\cdot e^1+b\cdot \ln{1}=a\cdot e=0$$also muss $a=0$ sein. z.B. Einsetzen von $x=e$ liefert nun $$0\cdot e^{e}+b\cdot \ln{e}=b=0$$Also muss $a=b=0$ und $e^x$ und $\ln{x}$ sind linear unabhängig.
LG
wir nehmen uns eine Linearkombination der 0 her: $$a\cdot e^x+b\cdot \ln{x}=0$$Wir sind im Vektorraum der stetigen Funktionen auf allen positiven rellen Zahlen(nehme ich an), also ist $0$ die Funktion $$0:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R}, x\mapsto 0$$Falls wir $a,b\neq0$ finden können, dann sind die Funktionen linear abhängig. Einsetzen ist ein guter Ansatz: $x=1$ liefert$$a\cdot e^1+b\cdot \ln{1}=a\cdot e=0$$also muss $a=0$ sein. z.B. Einsetzen von $x=e$ liefert nun $$0\cdot e^{e}+b\cdot \ln{e}=b=0$$Also muss $a=b=0$ und $e^x$ und $\ln{x}$ sind linear unabhängig.
LG
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fix
Student, Punkte: 3.66K
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Der entscheidende Punkt ist, dass die Linearkombination =0 für ALLE $x$ gelten muss, mit denselben $a,b$. Daher kann man sich aussuchen, welche $x$ man nimmt.
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mikn
20.07.2023 um 17:05
Genau, 2 Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Werte des Definitionsbereiches übereinstimmen
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fix
20.07.2023 um 18:33
nein, wenn ihre Funktionswerte für alle Werte des Definitionsbereichs übereinstimmen.
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mikn
20.07.2023 um 18:45
das habe ich geschrieben
─ fix 20.07.2023 um 18:47
─ fix 20.07.2023 um 18:47
Du hast geschrieben, die Funktionen müssen übereinstimmen. Der Punkt in der ganzen Aufgabe ist der Unterschied zwischen Funktion und Funktionswert, der darf hier nicht untergehen.
─
mikn
20.07.2023 um 18:52
