Was hast Du denn probiert? "Umgehen" mit der Potenz geht mit den Potenzrechenregeln, sind die Dir bekannt? Hast Du ggf. nachgeschlagen? Nach Anwendung dieser musst Du auf den Term ergänzen, der in Deiner Ind.Vor. im Zähler steht. Danach steht flott alles da.

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Schön wäre es die gesamte vollständige Induktion zu sehen die du bis dahin aufgeschrieben hast, also Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsbehauptung und Induktionsschritt. Meist hängen die Probleme die man beim Beweisen mittels Vollständiger Induktion hat damit zusammen, dass man die einzelnen Schritte nicht ordentlich aufschreibt. Vielleicht hast du ja dort bereits einen Fehler gemacht. So muss ich darauf setzen das du alles richtig hast bis dahin. 

Ich vermute du hast,  wie die meisten, Probleme im Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung einzusetzen und den Term umzuformen. Hier nun zu deiner Frage, die Klammer im Exponenten aufzulösen hast du doch bestimmt gemacht?! Du hast also den Term $\dfrac{5^{2n+2}-1}{3}$. Nun versuchst du zuerst die Potenz $5^{2n}$ im Zähler zu erzeugen. Nutze dafür das entsprechende Potenzgesetz. Du erhältst einen Vorfaktor den du ausklammern musst. Anschließend musst du den Term im Zähler geschickt erweitern, so dass du nachdem du den Bruch auseinanderziehst mit $\frac{x+y}{z}=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}$ dann also durch diese Schritte folgendes erhältst:
\[\dfrac{5^{2n+2}-1}{3}=\ldots =a\cdot \left(\dfrac{5^{2n}-1}{3}+\frac{b}{3}\right)\overset{IV}{=}\ldots\]
Dann kannst du im nächsten Schritt (welcher über dem Gleichheitszeichen mit IV gekennzeichnet ist) deine Induktionsvoraussetzung einsetzen und solltest dann sicher zügig zum Ende kommen. Aber mache erstmal diese Umformungen Schritt für Schritt. Wenn du nicht weiterkommst, lade deinen Fortschritt hoch und wir schauen weiter.