Hallo Zusammen

Ich hätte folgende Aufgabe zu lösen:

Sei \(X\subset \mathbb{R}^n\) kompakt und \(f:X\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig und injektiv. Zeige, dass \(f:X\rightarrow f(X)\) ein Homöomorphismus ist, d.h. \(f^{-1}:f(X)\rightarrow X\) stetig ist.

Ich habe es wie folgt versucht zu lösen:

Beweis:
Da X kompakt ist und \(f:X\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig, wissen wir aus der Vorlesung, dass \(f(X)\) auch kompakt ist. Da \(f(X)\subset \mathbb{R}^n\) ist können wir schliessen dass auch \(f:X\rightarrow f(X)\) injektiv ist, daher müssen wir nur noch zeigen dass f bijektiv und stetig ist.
Um die Bijektivität zu zeigen genügt es zu zeigen dass f surjektiv ist. 
Wir bemerken dass \(f(X)=\{f(x):x\in X\}\), daher können wir \(y\in f(X)\) wählen und bemerken dass \(\exists x \in X: \,f(x)=y \Rightarrow \forall y\in f(X) \,\,\exists x \in X: f(x)=y \Rightarrow f:X\rightarrow f(X)\) ist surjektiv \(\Rightarrow f:X\rightarrow f(X)\) ist bijektiv.
Nun wissen wir, dass es Sinn macht \(f^{-1}\) zu betrechten, was aber noch übrig bleibt ist zu zeigen, dass \(f^{-1}\) stetig ist. 
Wähle dafür eine abgeschlossene Menge \(U\subset X\). Es gilt dann für alle konvergente Folgen \(x_n \subset U\), dass \(lim \,x_n=x\in U\). Betrachte nun also die Folge \((f(x_n))_{n\in \mathbb{N}}\subset f(U)\) dann gilt \(lim\, f(x_n)\stackrel{f\,stetig}{=}f(lim \,x_n)=f(x)\in f(U)\), daher ist also \(f(U)\) auch abgeschlossen \(\stackrel{Theorem}{\Leftrightarrow}f^{-1}\) ist stetig.

Ich glaube aber dass das nicht einfach so geht und wäre froh wenn sich das jemand anschauen könnte. Vielen Dank!