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Hallo Zusammen

Ich hätte folgende Aufgabe zu lösen:

Sei \(X\subset \mathbb{R}^n\) kompakt und \(f:X\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig und injektiv. Zeige, dass \(f:X\rightarrow f(X)\) ein Homöomorphismus ist, d.h. \(f^{-1}:f(X)\rightarrow X\) stetig ist.

Ich habe es wie folgt versucht zu lösen:

Beweis:
Da X kompakt ist und \(f:X\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig, wissen wir aus der Vorlesung, dass \(f(X)\) auch kompakt ist. Da \(f(X)\subset \mathbb{R}^n\) ist können wir schliessen dass auch \(f:X\rightarrow f(X)\) injektiv ist, daher müssen wir nur noch zeigen dass f bijektiv und stetig ist.
Um die Bijektivität zu zeigen genügt es zu zeigen dass f surjektiv ist. 
Wir bemerken dass \(f(X)=\{f(x):x\in X\}\), daher können wir \(y\in f(X)\) wählen und bemerken dass \(\exists x \in X: \,f(x)=y \Rightarrow \forall y\in f(X) \,\,\exists x \in X: f(x)=y \Rightarrow f:X\rightarrow f(X)\) ist surjektiv \(\Rightarrow f:X\rightarrow f(X)\) ist bijektiv.
Nun wissen wir, dass es Sinn macht \(f^{-1}\) zu betrechten, was aber noch übrig bleibt ist zu zeigen, dass \(f^{-1}\) stetig ist. 
Wähle dafür eine abgeschlossene Menge \(U\subset X\). Es gilt dann für alle konvergente Folgen \(x_n \subset U\), dass \(lim \,x_n=x\in U\). Betrachte nun also die Folge \((f(x_n))_{n\in \mathbb{N}}\subset f(U)\) dann gilt \(lim\, f(x_n)\stackrel{f\,stetig}{=}f(lim \,x_n)=f(x)\in f(U)\), daher ist also \(f(U)\) auch abgeschlossen \(\stackrel{Theorem}{\Leftrightarrow}f^{-1}\) ist stetig.

Ich glaube aber dass das nicht einfach so geht und wäre froh wenn sich das jemand anschauen könnte. Vielen Dank!
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Hallo,

die Injektivität und Surjektivität passt soweit würde ich sagen. Ich war nur anfangs etwas verwirrt, da beide Funktionen gleich bezeichnet waren. Ich weiß nicht ob es in der Aufgabenstellung auch so steht, aber da solltest du gegebenfalls drauf aufpassen.
Bei der Stetigkeit von \( f\) passt das glaube ich so nicht (ich bin mir nicht 100% sicher, deshalb schreibe ich in die Kommentare). Denn wenn das so stimmen würde, dann wäre die Umkehrabbildung jeder stetigen Funktion ja bereits stetig.
Hier wirst du die Kompaktheit brauchen. Du schreibst am Anfang auch kurz, dass das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion selbst wieder kompakt ist. Nutze das auch aus.
Wann ist denn eine Teilmenge eines kompakten Raums selbst kompakt?

Grüße Christian
  ─   christian_strack 28.05.2021 um 18:08

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1 Antwort
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Folgende Beobachtung ist hier der Schlüssel: 
 
Kompakte Teilmengen kompakter Hausdorff-Räume sind abgeschlossen. (*)
 
Dies ist üblicherweise ein Lemma in einer klassischen Topologie 1 Vorlesung. Hattet ihr dieses bzw. dürft ihr das nutzen? Damit vereinfacht sich der Beweis drastisch.
 
Außerdem brauchst du folgendes: Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt.
 
Zur Injektivität und Surjektivität muss nicht argumentiert werden. Wenn \( f\colon X\to Y\) injektiv ist, dann ist \( f\colon X\to f(X)\) trivialerweise bijektiv. Da \(X\) kompakt ist, wissen wir, dass das stetige Bild \(f(X)\) ebenfalls kompakt ist. Und Teilräume erben die Hausdorff-Eigenschaft (einfach zu zeigen). Da \( \mathbb{R}^n\) ein Hausdorff-Raum ist, ist \(f(X)\) als Teilraum ebenfalls ein kompakter Hausdorff-Raum. 
 
Das heißt für uns: kompakte Teilmengen von \(f(X)\) sind abgeschlossen. 
 
Wenn man zeigen kann, dass das Bild \(f(U)\) jeder abgeschlossenen Teilmenge \(U\subset X\) wieder abgeschlossen ist in \(f(X)\), so folgt, dass \(f\) eine abgeschlossene Abbildung ist, was äquivalent dazu ist, dass \(f^{-1}\) stetig ist. (Stetigkeit bedeutet dass Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind und eine Abbildung heißt abgeschlossen, wenn Bilder abgeschlossener Mengen stets abgeschlossen sind.)
 
Sei nun \( f(X)\) der Teilraum mit der induzierten Teilraumtopologie durch \(\mathbb{R}^n\). Wir haben gesehen, dass \(f(X)\) ein kompakter Hausdorff-Raum ist und wir wissen aus (*), dass kompakte Teilmengen von \(f(X)\) abgeschlossen sind.
 
Sei also \(U\) eine beliebige abgeschlossene Menge in \(X\). Da \(X\) nach Voraussetzung kompakt war, ist \(U \subset X\) somit kompakt. Aufgrund der Stetigkeit von \(f\) ist aber \(f(U)\) kompakt. Da \(f(X)\) ein kompakter Hausdorff-Raum ist, folgt dann, dass \(f(U\) abgeschlossen ist.
 
Da \(U\) beliebig gewählt war, ist \(f\) eine abgeschlossene Abbildung, was äquivalent ist dazu, dass \(f^{-1}\) stetig ist.
 
\(\Box\)
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