Kritische Punkte einer Funktion mit Skalarprodukt

Erste Frage Aufrufe: 273     Aktiv: 02.06.2023 um 19:50

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Hallo, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Sei A eine symmetrische Matrix der Form n x n und positiv oder negativ semidefinit, außerdem b aus R^n und c aus R. Nun soll ich die kritischen Punkte der folgenden Funktion bestimmen:

f: R^n -> R, x -> 0,5 * <x, Ax>^2 + <b, x> + c   (< , > ist das Standardskalarprodukt)
Es steht als Hinweis da: Sie dürfen verwenden, dass <x, Ax> genau dann verschwindet, wenn Ax verschwindet.

Nun habe ich den Gradienten von f bestimmt als
f(x) = 2<x, Ax>* Ax + b

durch Nullsetzen und Umstellen kommt man auf 2<x, Ax>* Ax = -b, also müsste Ax ein skalares Vielfaches (etwa das k-fache) von b sein und 
2<x, Ax> = -1/k, sodass sich der Faktor -1 ergibt. Jetzt kann ich das Ax = kb einsetzen und komme auf 
<x, b> = -1/(2k^2)
Nun komme ich nicht weiter und ich weiß auch nicht, wie man den Hinweis benutzen kann. Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben?
gefragt

Punkte: 10

 
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